İlginç kombinasyonel optimizasyon problemleri üretmek

Meta sezgisel tarama üzerine bir ders veriyorum ve proje terimi için klasik kombinatoryal problemlerin ilginç örneklerini üretmem gerekiyor . TSP'ye odaklanalım. ve daha büyük boyutlu grafiklerle mücadele ediyoruz . Tabii ki rastgele bir alınan değerlere sahip bir maliyet matrisi içeren bir grafik oluşturmaya çalıştım ve (beklendiği gibi) yol maliyeti için histogramın (çok sayıda rastgele yol örnekleyerek çizildi) çok (normal dağılım dar olan ama civarındadır ). Bu, bence, sorunun çok kolay olduğu, çünkü çoğu rastgele yol ortalamanın altında olacağı ve minimum maliyet yolunun rastgele bir yola çok yakın olduğu anlamına gelir.$200$$U(0,1)$$\mu$$~100$$\sigma$$4$

Bu yüzden aşağıdaki yaklaşımı denedim: matrisini ürettikten sonra , grafik etrafında uzun bir rastgele yürüyüş yapın ve rastgele ( ile Bernoulli ) kenarın değerini ikiye katlayın veya yarıya indirin. Bu sonuçta sıfır ulaşan tüm değerleri, düşük eğilimindedir, ancak adımların sadece sağ sayısını alırsak, ben bir dağılım elde edebilirsiniz civarında ve etrafında .$U(0,1)$$p=0.5$$\mu$$2$$\sigma$$1$

Sorum şu, bu ilginç bir problem için bile iyi bir tanım mı? İdeal olarak, çok modlu (en yaygın mahalle işlevleri için) ve minimum değere yakın çok az yolu olan bir örnek isterim, böylece en rastgele çözümler en uygun olandan çok uzak olacaktır. İkinci soru, bu tanıma göre, bu özelliklere sahip örnekleri nasıl oluşturabilirim?

Daha zor vakalar üretmeye yönelik genel bir yaklaşım şöyledir:

• Rastgele bir sorun örneğiyle başlayın.
• Bir "gizli arka kapı" gömün: rastgele iyi bir çözüm seçin (zaten var olan herhangi bir çözümden çok daha iyi olacaktır) ve bu çözümü zorla sorun örneğine gömmek için sorun örneğini değiştirin.

Örneğin, TSP için aşağıdakine benzer bir şey yapabilirsiniz. Rastgele bir maliyet matrisi seçerek rastgele bir problem örneği oluşturun . Daha sonra, içinde bir çok-daha iyi bir çözüm gizlemek için sorun örneği ayarlamak: rastgele ziyaretler, her köşe tam olarak bir kez bir tur seçmek, ve bu tur kenar ağırlığını azaltan (örn gelen rastgele oluşturmak burada ; mevcut ağırlığı azaltın veya mevcut kenarı bir miktar sabit olasılıkla değiştirin). Bu ayarlama prosedürü, en iyi çözümün yüksek olasılıkla seçtiğiniz özel tur olmasını sağlar. Şanslıysanız ve makul bir yerleştirme seçerseniz, özel çözümü nerede sakladığınızı tanımak o kadar kolay olmayacaktır.$U(0,1)$$U(0,c)$$c<1$

Bu yaklaşım, gizli kapı tuzağı hakkında bilgi sahibi olmadan sorunun çözülmesinin zor olduğu, gizli kapı kapısının bilgisi ile problemin çok kolaylaştığı kriptografideki genel fikirlerden kaynaklanmaktadır. Gizli tuzakları çeşitli zor sorunlara gömmek için birçok girişimde bulunuldu (kapak kapısı eklendikten sonra bile sorunun sertliğini korurken), karışık derecelerde başarı ile. Ancak bu genel yaklaşım, sizin amaçlarınız için uygulanabilir gibi görünmektedir.

Ortaya çıkan sorun örnekleri zor olabilir , ancak herhangi bir pratik açıdan ilginç olacaklar mı? Bilmiyorum. Beni aşar. Bana oldukça yapay görünüyorlar, ama ne biliyorum?

Birincil hedefiniz, pratik olarak alakalı ve TSP'nin gerçek dünyadaki uygulamalarını temsil eden sorunlu örnekleri seçmekse, önerim tamamen farklı bir yaklaşım olacaktır. Bunun yerine, TSP'nin gerçek dünyadaki uygulamalarını inceleyerek başlayın, sonra bu sorunların temsili örneklerini arayın ve bunları karşılık gelen TSP problem örneğine dönüştürün - böylece gerçek dünya probleminden türetilen problem örnekleri ile çalışıyorsunuz.

genellikle çözümlerin doğası üzerinde yüksek kontrol sağlayan bir yaklaşım, bir NP tam probleminden diğerine dönüşümdür. şimdi sorunuzda "ilginç" i istatistiksel olarak tanımlayabilirsiniz, ancak başka bir düzgün yaklaşım da alandan klasik problemleri kullanmaktır. benim favorim faktoring / SAT. çok sayıda faktöre sahip "düz" sayıları ya da yalnızca iki "faktöre" (bir ve asal) sahip asal sayıları bulmak önemsizdir. faktoringi çözmek için SAT örneğini oluşturun ve çözümler faktörlerdir (aslında faktörlerin permütasyonlarıdır, fakat aynı zamanda önceden sayılması zor değildir).

bu yaklaşım altında, P zamanında çözülemeyen "ilginç" bir doğal tanım vardır. ve bu yaklaşımın pürüzsüz olmayan sayıları çarpanlara ayırmak için zor örnekler üretmesi garanti edilir, aksi takdirde karmaşıklık teorisindeki en açık soruyu, yani çarpanlara ayırma sertliğini çözer .

o zaman muhtemelen probleminize, bu durumda TSP'ye dönüştürün. Bu cevabı doldurmak için doğrudan SAT'den TSP'ye dönüşüm yapmak iyi olurdu, orada olduklarını düşünün, ancak onlara aşina değilim. ancak, bu soruda SAT'a çarpanlara ayırmaya ilişkin bazı referanslar bulunmaktadır: tamsayı çarpanlara ayırma problemini NP tam problemine indirgemek

faktoringden hoşlanmıyorsanız, çeşitli nedenlerden ötürü önce SAT'da örneklerin oluşturulması yine de tercih edilebilir. kolay-zor-kolay geçiş noktasında, vb. merkezde ayarlanmış rastgele SAT örnekleriyle başlayabilirsiniz. veya topluluk tarafından oluşturulan DIMACS zor örneklerinden çalışabilirsiniz . veya SAT'de başka mantıksal "programlar" oluşturun.