Alt küme toplamı ve Alt küme ürünü (güçlü ve zayıf NP sertliği)

Bazılarının bana neden alt küme ürün sorununun neden NP-zor olduğunu açıklayabileceğini umuyordum, alt küme toplamı sorunu ise zayıf NP-zor.

Alt Küme Sum: Verilen ve , bir alt grup arasında var, , öyle ki . $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\sum_{i\in X'}x_i = T$

Alt Küme Ürün: Verilen ve , bir alt grup arasında var, , öyle ki . $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\prod_{i\in X'}x_i = T$

Her zaman iki sorunun eşdeğer olduğunu düşündüm - SS örneği, üstelleştirme yoluyla SP örneğine ve logaritmalarla SP'den SS örneğine dönüştürülebilir. Bu beni her ikisinin de aynı NP-sert sınıfına ait olduğu sonucuna götürdü - yani, ikisi de zayıf NP-sertti.

Ayrıca, aynı yinelemenin çok küçük bir değişiklikle dinamik programlama kullanarak her iki sorunu çözmek için kullanılabileceği görülmektedir (SS'deki çıkarma, SP'deki bölme ile değiştirilir).

Bernard Moret'in "Hesaplama Teorisi" nin 8. bölümünü okuyana kadar (kitap olmayanlar için, X3C aracılığıyla alt küme ürününün sertliğinin bir kanıtı var - güçlü bir NP-zor problemi).

Düşüşü anlıyorum, ancak önceki sonucumda neyin yanlış olduğunu anlayamıyorum (iki sorunun denkliği).

GÜNCELLEME : Alt küme ürününün sadece zayıf bir şekilde NP-tamamlanmış olduğu ortaya çıkar (hedef ürün cinsinden üsteldir ). Gary ve Johnson bunu 1981'de NP tamlık sütununda yayınladılar , ancak sanırım kitaplarındaki önceki iddialarından daha az görünürdü. $\Omega (n)$

— RDN
kaynak

Muhtemelen dinamik programlama algoritmanızı nasıl uygulayacağınızı hayal etmek iyi olur. Sonra neyin yanlış olduğunu bulursun.

— Yoshio Okamoto

@ Muhammed-Türkistan: Bu sütunun

— RDN

Yanıtlar:

Altküme Toplamı ve Altküme Ürününün denkliği sorunuyla ilgili olarak Altküme Ürünü ile ilgili bir teknik vardır. T'nin üstel olmaması durumunda x'in = T ürünü aslında Portedopolynomial olur! Bu yüzden Subset Ürününün NP Hard olduğuna dair kanıtları (teknik nedenlerle !!!) oldukça doğru değildir!

Ancak T'nin Büyük olduğuna dair bir söz verildiğinde, Logaritmalarla Altküme Toplamına indirgeme, realitelerin üzerinde olmayan bir STANDART ALT TOPLAM TOPLA! Bu, Altküme Toplamı için Portedopolynomial algoritmasının geçerli olmadığı anlamına gelir! Logaritmalar küçük olmasına rağmen, ondalık basamaklar Portedopolynomial Dynamic Programming'i bozar!

Umarım bu yardımcı olur

Zelah

— Zelah 02
kaynak

İndirimlerin yanlış olduğu konusunda her zaman haklı olduğunuz ortaya çıkıyor (yani, yokken güçlü NP tamlığı gösterdiğini iddia etmek). Teşekkürler!

— RDN

İlk olarak, SS'den SP'ye gitmek için üsleri kullanmak ( tabanı yerine 2 tabanını kullanmak) $e$ ) çalışır, ancak ilgili sayıların boyutunu patlatır. Zayıf NP sertliği, rakamlar küçükse (veya daha kesin olarak, tek harfle belirtilirse), sorunun artık zor olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle, üssel kullanımı, sayıların tek tek yazıldığı SS'nin kolay örnekleri için bile üstel olarak boyutlandırılmış SP örnekleri oluşturur.

İkincisi, SP'den SS'ye geçmek için logaritmaların kullanılması işe yaramaz, çünkü logaritmalar tipik olarak tamsayı olmayan değerler üretir. SS ve SP tamsayılar kullanılarak tanımlanır ve logaritmalar genellikle temsil edilmesi veya matematik yapması zor olan aşkın değerlerle sonuçlanır.

<edit>

Let bir tamsayı olmak , daha sonra ancak ve ancak rasyonel olan 2 'lik bir güç olduğunu ve transandantal aksi. İlk olarak, eğer $A$ $A > 0$ $\log_2 A$ $A$ , sıfır olmayan tamsayılardır içinve, daha sonra $\log_2 A = \frac{p}{q}$ $p$ $q$ ,. Bu nedenle,birincil ayrışma ileelde ederiz. Ayrıca, yaniverildiğinderasyonelolduğunu kanıtlamak içinveseçebiliriz. $A = 2^{\frac{p}{q}}$ $A^q = 2^p$ $A = 2^r$ $A^{rq} = 2^p$ $A$ $q=1$ $p=r$ $\log_2 A$

Sadece asla aşkın olmadığını göstermemiz gerekir . Bu, Gelfond-Schneider teoreminden kaynaklanır , eşdeğer bir formülasyon için (Wiki sayfasında bulunabilir) " ve sıfır olmayan cebirsel sayılarsa ve sıfır olmayan logaritmasını alırsak , rasyonel veya aşkındır. " Teoremin tersini alarak ve ve dolayısıyla ayarlayarak doğrulama yapmak da kolaydır. $\log_2 A$ $\alpha$ $\gamma$ $\alpha$ $(\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_\alpha \gamma$ $\alpha^\beta = \gamma$ . $\beta = \log_\alpha \gamma$

</edit>

Son olarak, SS on SP dinamik programlama algoritmasını denediğimizde ne olacağını düşünün. Toplamlardan ziyade ürünler kullandığımız için, ilgili sayılar muazzam bir şekilde patlar ve istenen keyfi hassas matematik aniden çalışma zamanında bir faktör haline gelir. Bu nedenle algoritma, rakamlar tekli olsa bile SP örneklerini hızlı bir şekilde çözemez.

— Alex ten Brink
kaynak

bu biraz ilginç bir özel duruma yol açar. kütük hangi sayı sınıfı için gerekçeler olarak ifade edilebilir ve sonsuz hassasiyet gerektirmez? bu durumda, problemler birbirine neredeyse eşit ve indirgenebilir olacaktır. "doğal" bir yaklaşım algoritmasına da yol açıyor gibi görünüyor.

— Mart'ta vzn

Harika cevap için teşekkürler! Sadece bir sorunum var - Günlükleri almanın neden yasadışı olduğunu anlıyorum (belki de günlüklerin poli olduğu durumlar hariç - vzn'nin işaret ettiği gibi), ancak SS'den SP'ye gitmenin yasallığından hala emin değilim üs yoluyla. Eğer belirtildiği gibi WRT aşağıdaki sorun haline çalışmaz, (üs ile) SP SS hareket ederek işlenir: bit sayısını giriş örneği

olduğu

ve bit sayısı örnek

olan

I_{S S}

$I_{SS}$

O (n \log x)

$O(n\log x)$

I_{S P}

$I_{SP}$

O (n x)

$O(nx)$ . Bu üstel bir patlama. Peki hala yasal mı? Eğer öyleyse, neden?

— RDN

@vzn, RDN: Logaritma aşkın olduğunda bir karakterizasyonda düzenledim. Azaltmadaki patlama hakkında, 'yasal' tanımınıza bağlıdır: azaltma doğrudur , ancak etkinliği polinom değildir ve bu nedenle NP sertliği hakkında bir şey söylemez. Bu nedenle doğru bir poli-zaman azaltımı değildir, ancak doğru bir azaltımdır (niteleyiciler olmadan).

— Alex ten Brink

Ayrıca tüm sayılar formu olan özel bir durum yoktur

, her

rasyonel herhangi,

, sadece

. düşündüğüm yaklaşım algoritması , değerlerin o "tabana" dönüştürülüp orijinallerine "yakın" olacağı şekilde bir

bulabilir .

c^{n_{i}}

$c^{n_i}$

n_{i}

$n_i$

c

$c$

c = 2

$c=2$

c

$c$

— Mart'ta vzn

Gerçek açıklama, Altküme Ürünü sorununun, 3-kümelerin tam olarak örtülmesi gibi güçlü NP-tamsayı sorunundan kaynaklanan bir azalma ile NP-tamamlanmış olmasıdır. Bu tür "güçlü" indirgeme işleminde, girdi tamsayıları, sonuçta ortaya çıkan Altküme Ürünü probleminin tamsayıları sayısında bazı polinom fonksiyonlarıyla sınırlanır.

$P=NP$

— Muhammed El-Türkistan
kaynak

Evet bunu anladım. Sorum daha önce yaptığım sonucun neden yanlış olduğuyla ilgiliydi (yani SS ve SP'nin denkliği).

— RDN

@rdn P = NP olmadığı sürece bu anlamda eşdeğer değildir.

— Mohammad Al-Turkistany

Evet, anladım. Ama her iki yöndeki indirimlerimle neyin yanlış olduğunu bilmek istiyorum.

— Mart'ta RDN

Size indirimleri anlatabilir misiniz?

— Mohammad Al-Turkistany

I (S S) = ⟨ X, S ⟩

$I(SS)=\langle X, S \rangle$

I (S P) = ⟨ Y, P ⟩

$I(SP)=\langle Y, P \rangle$

I (S S)

$I(SS)$

I (S P)

$I(SP)$

P = e^{S}

$P = e^S$

Y_{i} = e^{X_{i}}

$Y_i = e^{X_i}$

S

$S$

P = e^{S}

$P = e^S$

I (S P)

$I(SP)$

I (S S)

$I(SS)$

S = l o g (P)

$S = log(P)$

X_{i} = \log (Y_{i})

$X_i = \log(Y_i)$

P

$P$

S = \log (P)

$S = \log(P)$ .

— RDN