Gap-3SAT NP, ortalamadan daha fazla cümle içinde hiçbir değişken çiftinin görünmediği 3CNF formüllerinde bile tamam mı?

Bu soruda, bir 3CNF formülü, her bir maddenin tam olarak üç ayrı değişken içerdiği bir CNF formülü anlamına gelir . 0 < s <1 olan sabit bir değer için Gap-3SAT _s aşağıdaki söz verme sorunudur:

Gap-3SAT _s
Örneği : 3CNF formül φ.
Evet-söz : satis tatmin edicidir.
No-vaadi : Hayır gerçeği atamaları daha tatmin s cp maddelerinin fraksiyonu.

Ünlü PCP teoremini ifade etmenin eşdeğer yollarından biri [AS98, ALMSS98], Gap-3SAT ' _ın NP-tam olması için 0 \ s sabitinin mevcut olduğu şeklindedir.

Her bir farklı değişken çifti çoğu B cümlesinde belirirse, bir 3CNF formülünün çift B'ye bağlı olduğunu söylüyoruz . Örneğin, bir 3CNF formülü ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ ) çift bağlı (2 ile sınırlıdır); - sınırlı çünkü örneğin ( x ₁ , x ₄ ) çifti birden fazla maddede görünüyor.

Soru . Alın sabitleri orada var B ∈ℕ, bir > 0 ve 0 < s <1 Boşluksuz 3SAT böyle _s NP-tam da ikili bir 3CNF formül için oda -bounded ve en azından oluşur , bir ² maddeleri, n değişkenlerin sayısı nedir?

İkili sınırlılık açıkça sadece O ( n ² ) cümleleri olduğunu gösterir. Madde sayısı üzerindeki ikinci dereceden alt sınırla birlikte, kabaca, hiçbir değişken değişkeninin ortalamanınkinden daha fazla maddede görünmediğini söylüyor.

Boşluk 3SAT için, bilinen seyrek durumda zordur : sabit vardır 0 < s <1 Boşluksuz 3SAT öyle ki _s da her bir değişken tam beş kez [Fei98] oluşan bir 3CNF formül NP-tamamlandı. Diğer yandan, yoğun durumda kolaydır : En-3SAT Q (bir 3CNF formülü için bir PTAS kabul n ³ ) farklı maddelerden [AKK99], ve bu nedenle, Boşluk 3SAT _s , her sabit 0 P, bu durumda olduğu < s <1. Soru, bu iki davanın ortasını soruyor.

Yukarıdaki soru, aslen, dolandırıcılık kanıtları ( MIP ^* (2,1) sistemleri) olan kuantum işlemsel karmaşıklık, daha spesifik olarak iki-prover tek yönlü etkileşimli prova sistemleri çalışmasında ortaya çıkmıştır . Ancak, sorunun kendi başına ilginç olabileceğini düşünüyorum.

Referanslar

[AKK99] Sanjeev Arora, David Karger ve Marek Karpinski. NP-zor problemlerin yoğun örneği için polinom zaman yaklaşımı şemaları. Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi , 58 (1): 193-210, Şubat 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Sanjeev Arora, Carsten Lund, Rajeev Motwani, Madhu Sudan ve Mario Szegedy. Kanıt doğrulama ve yaklaşım problemlerinin sertliği. ACM Dergisi , 45 (3): 501–555, Mayıs 1998. http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Sanjeev Arora ve Shmuel Safra. Kanıtların olasılıkla kontrolü: NP'nin yeni bir karakterizasyonu. ACM Dergisi , 45 (1): 70–122, Ocak 1998. http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Uriel Feige. Ln bir eşik n grubu kapağı yaklaştırmak için. ACM Dergisi , 45 (4): 634-652, Temmuz 1998. http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

cc.complexity-theory sat approximation-hardness

— Tsuyoshi Ito
kaynak

@ Tsuyoshi: ve arasında diğer ara vakalar hakkında hiçbir şey bilmediğine karar vermekte haklı mıyım?

m = O (n)

$m = O(n)$

m = Ω (n^{3})

$m = \Omega(n^3)$

— András Salamon

@ András: Orta dereceli davalarla ilgili daha önce elde ettiğim sonuçların farkında değilim, ancak aşağıdaki davaların NP eksiksizliğinin bir kanıtı olduğunu düşünüyorum. (1) İkili sınırlı, cümleleri, ancak boşluksuz. (2) Bir boşlukla herhangi bir d <3 sabiti için cümle kurar, ancak zorunlu olarak ikili olarak sınırlanmış değildir. (3) Bir boşlukla, ikili sınırlanmış, d <2 sabitleri için cümleleri. (1) 'in kanıtı [Fei98]' den basit bir indirimdir. (2) 'nin ispatı, sonucun bir bölümünü Ailon ve Alon 2007 tarafından kullanır . (3) kanıtı genişleticileri kullanır.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

— Tsuyoshi Ito,

@ Tsuyoshi: Gazetenizi okumak için sabırsızlanıyorum.

— András Salamon

Eğer sağlamlık gerekirse bir cevap yok ama yöntemler m maddelerinin rastgele 3CNF bu sorunu gösteren burada başarılı olabilir edilemezdir olduğunu tasdik olmadığını kontrol ediyorum en azından kolay 7/8 yakın olmak. Bu çalışmalar, den daha fazla fıkralar bulunduktan ve yarı-rasgele modellere genişletildikten sonra başarılı (3CNF'yi düzelterek reddetme üzerine Feige FOCS 07'ye bakınız). Bununla birlikte, Tsuyoshi'nin burada vakasının bile hala NP zor olduğunu gösterdiği görülüyor , bu belki de bu çalışmaların ilgisiz olduğunu gösteriyor.

s

$s$

n^{1.5}

$n^{1.5}$

n^{1.9}

$n^{1.9}$

— Boaz Barak

Boaz, her değişkeni kopyaları ile değiştirerek ve ardından her bir maddeyi cümleleriyle değiştirerek, her bir değişkeni orijinal tümce kopyalarında tüm olası yollarla değiştirerek, her zaman bir 3SAT örneğini "yoğunlaştırabilirsiniz" . Bu, önceki cümlelerin aynı fraksiyonunun tatmin edici olduğu bir örnek verir, ancak n değişkenlerinden ve m cümleciklerinden nM değişkenlerine ve cümleciklerine geçersiniz, bu nedenle, yinelemelerin sayısı üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadan, sağlamlık , değişkenli ve cümlecikli formüllerde bile .

M

$M$

M^{3}

$M^3$

m M^{3}

$mM^3$

7 / 8 + ϵ

$7/8 + \epsilon$

N

$N$

N^{2.999}

$N^{2.999}$

— Luca Trevisan

Tam bir cevap değil, umarım yakındır. Bu Luca'nın yukarıdaki yorumlarına çok yakın. Cevabın en azından B ∈ℕ, a > 0 ve 0 < s <1 sabitlerinin bulunduğuna inanıyorum, öyle ki Gap-3SAT _lar çift B- bağlı ve onlardan oluşan bir 3CNF formülü için bile NP-tamamdır . en az yan tümcesi, herhangi bir sabit . $an^{2-\epsilon}$ $\epsilon$

Kanıt aşağıdaki gibidir. GAP-3SAT düşünün örneği ilgili değişken olan en fazla 5 kez, her bir değişken görüntülenir. Bu NP-tamam, sorunda söylediğiniz gibi. $_s$ $\phi$ $N$

Şimdi aşağıdaki gibi yeni bir örnek yaratıyoruz : $\Phi$

Her değişken için içinde , sahip değişkenleri . $x_i$ $\phi$ $\Phi$ $n$ $y_{ij}$
Her endekslerin seti için , ve ile , bir Clauses çifti ve . Bunlara karşılaştırma cümleleri olarak , çünkü tatmin olmaları durumunda olmasını . $i$ $a$ $b$ $a\neq b$ $\Phi$ $y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$ $y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$ $y_{ia} = y_{ib}$
Her madde için değişken etki eden , ve her için, ve , eşdeğer madde içerir ile değiştirildiği , ile değiştirildiği ve değiştirilir tarafından (burada ek yapılır modülo ). Bunlara miras kalan cümle olarak bakacağım. $\phi$ $x_i$ $x_j$ $x_k$ $a$ $b$ $\Phi$ $x_i$ $y_{ia}$ $x_j$ $y_{jb}$ $x_k$ $y_{k(a+b)}$ $n$

Toplam değişken sayısı . Not , karşılaştırma cümleciklerine ve kalıtsal cümlelere sahiptir, toplam cümleleri için. Alarak Elimizdeki ve Madde toplam sayısı . Biz almak , yani . $m = nN$ $\Phi$ $2Nn^2$ $\frac{5}{3}Nn^2$ $\frac{11}{3}Nn^2$ $n = N^k$ $m = N^{k+1}$ $C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$ $k = \epsilon^{-1} - 1$ $C \propto m^{2-\epsilon}$

Daha sonra, ikili olarak 8 sınırlıdır (karşılaştırma cümlelerinden en fazla 2 ve miras alınan cümlelerden 6). $\Phi$

Son olarak, eğer tatmin ise, en azından cümleleri tatmin edici değildir. Şimdi, eğer herhangi için ise en az cümleleri tatmin edici değildir. Karşılamak için o Not kalıtsal maddelerinin bir dizi tatmin maddeleri sabit, , sonra değişkenlerin atama , ve en az pozisyonunda farklı olmalı , en az karşılaştırmasını karşılamayacak cümlecikler bırakmalıdır . Bu, ve her seçimi için geçerli olmalıdır. $\phi$ $(1-s)N$ $y_{ia} \neq y_{ib}$ $a,b$ $n-1$ $(1-s)N$ $a,b$ $y_{:a}$ $y_{:b}$ $y_{:(a+b)}$ $\frac{1-s}{5}N$ $\frac{1-s}{5}N(n-1)$ $a$ $b$ bu nedenle, en azından karşılaştırma cümleleri, kalıtımsal tüm cümlelerin yerine getirilmesi için toplamda tatminsiz kalmalıdır. Bununla birlikte, tüm karşılaştırma maddelerinin yerine getirildiği diğer uç noktaya bakarsanız, maddeleri tatmin edilemez. Dolayısıyla bir boşluk kalır (azaltılmış olmasına rağmen) ile kalır . $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$ $(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ $s' = \frac{4+s}{5}$

Sabitlerin muhtemelen iki kez kontrol edilmesi gerekir.

— Joe Fitzsimons
kaynak

Sağol Joe. Üzgünüm, eğer net değildi, ama bu soruda, her maddede üç değişkenin tamamen farklı olmasını gerekli kıldım ve bu nedenle yazım sırasında karşılaştırma cümleleri kullanılamaz. Genişletici grafikler kullanan aynı gerçeğin (ikili sınırlı, Ω (n ^ (2 − ε)) cümleleri, boşluklu) cümlelerinin bir kanıtı var, ancak genişleticiler kullanmadan ispatlanabilirse, çok ilgileniyorum.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Ah anlıyorum. Aslında, başlangıçta farklı değişkenlerle kendime kanıtlamıştım, bu yüzden istediğiniz forma sokmak için çok kolay bir tweek var. Karşılaştırma maddelerini basitçe farklı bir şekilde atayabilirsiniz. iki cümle yerine 4: , , ve . Açıkçası, bunlar daha önce olduğu gibi aynı 2 değişken yan tümcesini azaltır. Açıkçası bu, sabitleri yoruyor, ancak başka bir fark yaratmıyor.

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

— Joe Fitzsimons

Belki de en naif uygulaması polinomdan biraz daha hızlı büyüyen örnekler vermesine rağmen, alarak faktörünü bir yolu vardır .

ϵ

$\epsilon$

k = k (n)

$k = k(n)$

— Joe Fitzsimons 14

Detayları daha sonra dikkatlice kontrol edeceğim, ancak a, b ve (a + b) kullanma fikri işe yarıyor gibi görünüyor. Bu beni açıkça genişleticilerle ilgilenmekten kurtarmalı. Teşekkürler!

— Tsuyoshi Ito

Sorun değil. Yardım edebildiğime sevindim.

— Joe Fitzsimons