Tip-uzayda logaritma veya kök işlemi nedir?

Geçenlerde İki İkilik Hesaplamayı okudum : Olumsuz ve Kesirli Türler . Kağıt türleri semantik veren toplam-tip ve ürün türleri üzerinde genişler a - bve a/b.

Toplama ve çarpma işlemlerinden farklı olarak, üstelleştirme, logaritmalar ve köklendirme gibi bir değil iki tersi vardır. Eğer fonksiyon tipleri (a → b) tip teorik üstelse, a → b(veya b^a) tipine bakıldığında tipe logb(c)veya tipe sahip olmak ne demektir a√c?

Logaritmaları ve kökleri türlere genişletmek mantıklı mı?

Eğer öyleyse, bu alanda herhangi bir çalışma var mı ve sonuçların nasıl anlaşılacağına dair bazı iyi yönlendirmeler neler?

Curry-Howard yazışmalarının bana yardımcı olabileceğini umarak, boşuna harcamayı umarak, bu konuda mantıkla bilgi aramaya çalıştım.

— efrey
kaynak

Yanıtlar:

A tipi temel bir logaritma sahip ve tam olarak ne zaman . Yani, , tarafından verilen pozisyonlarda bir element kabı olarak görülebilir . Nitekim, ne güç isteyen meselesi biz yükseltmeli elde etmek . $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

O çalışmak mantıklı nerede logaritma anlamına var her bir funktor olduğunu . Not ki eğer , o zaman biz kesinlikle var konteyner bize unsurlarıyla dışındaki ilginç bir şey söyler, böylece: şekillerin seçeneği ile kapları yapmak logaritma yok. $\mathop{log}F$ $F$ $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ $F\:1\cong 1$

Konum setleri açısından düşündüğünüz zaman, bilinen logaritma yasaları

\begin{array}{rcll} l o g (K 1) & = & 0 & no positions in empty container \\ l o g I & = & 1 & container for one, one position \\ l o g (F \times G) & = & l o g F + l o g G & pair of containers, choice of positions \\ l o g (F \cdot G) & = & l o g F \times l o g G & container of containers, pair of positions \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

Ayrıca burada altında . Yani, bazı kodatalardaki her bir elemanın yolu , logaritmayı yineleyerek indüktif olarak tanımlanır. Örneğin, $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{X} (ν Y . X \times Y) = μ Z . 1 + Z = N a t

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

Türevin bize tek delikli bağlamlardaki türü ve logaritmanın bize konumlarını söylediğini göz önüne alındığında, bir bağlantı beklemeliyiz, gerçekten

F 1 ≅ 1 \Rightarrow l o g F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

Herhangi bir şekil seçiminin olmadığı durumlarda, bir konum, parçalara sürülmüş olan tek delikli bir bağlamla aynıdır. Daha genel olarak, her zaman bir şeklinin seçimini, bu şekil içindeki bir eleman pozisyonu ile birlikte temsil eder . $\partial F\:1$ $F$

Korkarım kökler hakkında söyleyecek daha az şeyim var, ancak biri benzer bir tanımdan başlayıp birinin burnunu takip edebilir. Logaritma türlerinin daha fazla kullanımı için, Ralf Hinze'nin "Memo fonksiyonları, polytypically!" Bölümüne bakın. Acelem var...

— pigworker
kaynak

Da Man'in kendisinin cevabı. Hoşgeldin Conor!

— Andrej Bauer

Hmm, ne tür köklerin olduğunu görmek istiyorum, çünkü hayali sayıda nüfusa sahip olan türleri gerektiriyorlardı. Yanılmıyorsam. Cevabınızı kabul edeceğim, ancak kökler üzerinde yoğunlaşacak vaktiniz varsa, çok memnun kalacaksınız.

— efrey

Bu bir şekilde Taylor'un ln (1 + x) serisiyle ilgili olabilir mi?

— yatima2975

Logaritmalar ve üstellerle merak ediyorum ... bir Napier nesnesi inşa etmek için neye ihtiyacımız var ? (örneğin sözde benzersiz nesne eböyle ∂e = e)

— Rhymoid

Bu çizgiyi izleyen herhangi bir çalışma bilmiyorum ama birkaç dakika beni bu hipoteze yönlendirdi: üstel türün "kökü" sadece eş etki alanı ve üstelin "logaritması" olmazdı. sadece etki alanı?

— Marc Hamann
kaynak

Doğru, sezginin iyi olduğunu düşünüyorum ama sonucun kapalı. Kök işlemi ve logaritma işlemi, (co) etki alanının değil, sırasıyla etki alanını veya etki alanını "ters" çevirdiğinizde elde ettiğiniz işlemdir. Asıl soru, tersine çevirmekle neyi kastediyoruz ve ürettiği ikili tür işlemi nedir?

— efrey

Bunun doğru olduğundan emin değilim. Ben varsa , kökü inci olduğunu ve baz logaritma olan . Tersine çevirme işlemidir, bileşenleri değil.

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

— Marc Hamann

Üzgünüm, terminolojimde net değildim. "Kök nedir, logaritma fonksiyonunu uygulamanın sonucu nedir" sormak istemiyorum. Köklenme işleminin ne olduğunu merak ediyorum. Logaritma bulma işlemi nedir. Eğer →genişletme ise, kök işlemi altındaki iki tip nedir. Logaritma işlemi altında iki tip nedir. Demek istediğim "argümanı tersine çevirmek", burada açıklamak için zamanı olmayan bir şeydir. Sorumu açıklığa kavuşturacağım, teşekkürler.

— efrey

Bağladığım kağıt türü a - bve türü için bir anlam sağlar a / b. İşlemlerin logaritmasını ve kökünü azaltmanın sonucuyla ilgilenmiyorum, ancak bunların ikili tip operatörleri olarak anlambiliklerini anlamakla ilgileniyorum.

— efrey