Las Vegas algoritmalarını kullanarak BPP'nin en hızlı bilinen simülasyonu nedir?

$\mathsf{BPP}$ ve temel olasılıksal karmaşıklık sınıflarından ikisidir. $\mathsf{ZPP}$

$\mathsf{BPP}$ , yanlış cevap döndürme algoritmasının olasılığının sınırlı olduğu olasılıksal polinom-zaman Turing algoritmaları tarafından karar verilen dil sınıfıdır, yani hata olasılığı en fazla (hem EVET hem de NO örnekleri). $\frac{1}{3}$

Öte yandan, algoritmaları hiçbir zaman yanlış bir cevap döndürmeyen olasılıklı algoritmalar olarak görülebilir, her cevap verdiklerinde doğrudur. Ancak çalışma süreleri bir polinom ile sınırlı değildir, beklenen polinomda çalışırlar. $\mathsf{ZPP}$

Let sıfır hata olasılığı ile olasılıksal algoritmalar tarafından karar dilin sınıf ve beklenen çalışan zamanlı olmak . Bunlara Las Vegas algoritmaları ve . $\mathsf{ZPTime}(f)$ $f$ $\mathsf{ZPP} = \mathsf{ZPTime}(n^{O(1)})$

Benim sorum en iyi Las Vegas algoritmaları kullanarak algoritmalarının simülasyonu nedir? Bunları beklenmedik bir zamanda simüle edebilir miyiz? Üstel zaman alan önemsiz kaba kuvvet simülasyonunda bilinen herhangi bir gelişme var mı? $\mathsf{BPP}$

Daha resmi olarak, veya için bazı ? $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{O(n^{\epsilon})})$ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{n-n^{\epsilon}})$ $\epsilon>0$

— echuly
kaynak

N, girişin uzunluğu nedir? Neden kabul edebiliriz ?

2^{n}

$2^n$

— 13'te domotorp

2^{p o l y (n) - n^{ϵ}}

$2^{\mathrm{poly}(n)-n^\epsilon}$ , aynı şeydir .

2^{p o l y (n)}

$2^{\mathrm{poly}(n)}$

— Emil Jeřábek

Soruyu oldukça ilginç buluyorum. Soruyu daha okunaklı ve kesin hale getirmek için düzenledim. Daha fazla düzenleme yapmaktan çekinmeyin. ps: Muhtemelen BPP algoritması tarafından simülasyon süresi için bir parametre olarak kullanılan polinom olarak birçok rastgele biti hesaba katmak istediğinizi tahmin ediyorum, ancak Emil yazdıklarınızı işaret ettiği için veriyor . Eğer BPP'yi algoritma tarafından kullanılan rasgele bitlerin sayısı için bir parametreye sahip belirli sınıf sınırlı hata olasılık algoritmalarıyla değiştirmek istiyorsanız.

2^{p o l y (n)}

$2^{poly(n)}$

— Kaveh

Bir BPP kullanımları algoritması benzetilebilir eğer sorabilir rastgele bit brute yana -force simülasyonu sürede çalışır.

r (n)

$r(n)$

Z P T i m e (2^{r (n) - n^{ϵ}} n^{O (1)})

$\mathsf{ZPTime}(2^{r(n)-n^\epsilon}n^{O(1)})$

2^{r (n)} n^{O (1)}

$2^{r(n)}n^{O(1)}$

— Kaveh

Yanıtlar:

İlk olarak, eğer bazı sabit için , . (Belirsiz zaman hiyerarşisinin kanıtı.) Dolayısıyla, böyle bir içermenin kanıtlanması, sadece gelişmiş bir simülasyon olduğu için değil, aynı zamanda on yıllar içinde randomize edilmiş zaman alt sınırlarında da ilk ilerlemeyi sağlayacağı anlamına gelir. $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{c}}]$ $c$ $\mathsf{BPP} \neq \mathsf{NEXP}$

Sonra, sınıf düşünün , aşağıdaki sorun olduğu " -Zor": $\mathsf{PromiseBPP}$ $\mathsf{PromiseBPP}$

Devre Uyum Olasılık sorun (CAPP): bir devre Verilen çıkış kabul olasılığı bir dahilinde katkı faktörü. $C$ $C$ $1/6$

Impagliazzo, Kabanets ve Wigderson 2002'nin sonuçları, CAPP için zaman sıfır hata algoritmasının (burada , boyutudur ) ima eder . STOC'10, ben göstermek için bu genişletilmiş: varsayılarak her için ile giriş bit ve boyutuna, tek bir nondeterministically CAPP hesaplayabilir (yani sıfır hata yeterli) içerisinde zamanı, sonra $2^{n^{\varepsilon}}$ $n$ $C$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $C$ $k$ $n$ $2^{k-\omega(\log k)}\mathrm{poly}(n)$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ . Yani, tam kapsamlı aramayı hafifçe yenen sıfır hata algoritmalarının alt sınırları sınırladığı anlamına gelen iki taraflı hata rastgele ile hesaplanabilir problemler vardır. Bunun daha düşük sınırları kanıtlamak için olası bir yöntem olarak yorumlanması gerektiğine inanıyorum; kilometreniz değişebilir.

Bildirim bile kanıtlayan de açıktır ve ispat o da alt sınır ima olacaktır: Kabanets ve Impagliazzo 2004, polinom kimlik eğer test (bir sorunu) tüm için , sonra Kalıcı veya için daha düşük sınırlarımız . Son zamanlarda (STOC'13'te yayınlanacak), koşulsuz olarak veya değerine sahip $\mathsf{RP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^{\varepsilon}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$ $n^c$ büyüklükteki devreler, Kabanets'in "kolay tanık" yöntemi üzerine inşa edilmiştir. Bu iki şeyi ifade eder:

Bir vardır için tüm bu tür , koşulsuz olan - bu en koşulsuz hakkında ait derandomization içinde Buraya kadar biliyoruz. $c$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{RP}$ $\mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^c$ $\mathsf{RP/BPP}$ $\mathsf{ZPP}$
ilginç alt-üst simülasyonlarını almaya başlamak için , "yalnızca" sabit polinom boyutlu devreleri olmadığını varsaymanız gerekir. $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$

— Ryan Williams
kaynak

Yanıtımı okunaklı hale getirmek için zaman ayırdığı için Niel'a teşekkürler :)

— Ryan Williams

Ryan, sanırım çok aptalca bir soru sormak üzereyim, ama işte buradayım: ilk cümlede, neden "herkes için " a ihtiyacınız var? Bazı c sabitleri için ZPTIME (2 ^ (n ^ c)) BPP alt kümesi RTIME (2 ^ (n ^ c)) ve dolayısıyla NTIME (2 ^ (n ^ c)) BPP alt kümesi anlamına gelir, bu nedenle BPP NEXP veya başka bir şekilde NTIME (2 ^ (2n ^ c)), NTIME (2 ^ (n ^ c)) alt kümesidir?

ϵ

$\epsilon$

— Sasho Nikolov

Gerçekten aptal değil - bazı için için , belirttiğiniz için teşekkürler. Yine de diğer sonuçlar için üstel zaman algoritmaları gereklidir.

B P P \subseteq N T I M E (2^{n^{c}})

$BPP \subseteq NTIME(2^{n^c})$

c

$c$

B P P \neq N E X P

$BPP \neq NEXP$

— Ryan Williams

Ryan: Makalenizi anlamak istesem, devre karmaşıklığı hakkında hangi kitabı / makaleleri bilmenizi tavsiye edersiniz?

— T ....

Merhaba Arul, neyse ki Bill Gasarch bana bu soruyu bir süre önce sordu ve aşağıdaki bağlantıların web sayfasını hazırladı

— Ryan Williams

Hangi varsayımları yapmak istediğinize bağlıdır.

Belirli sertlik varsayımları altında, yani , bu alırsınız . Bu özellikle ve dolayısıyla her dilin nin bir Las Vegas makinesi tarafından kabul edildiğini ima eder (Impagliazzo ve Wigderson tarafından "E'nin Üstel Devreleri: XOR Lemmasını Parçalamak" bölümüne bakınız). $E \not\subseteq SIZE(2^{\varepsilon n})$ $P = BPP$ $BPP = ZPP$ $L \in BPP$

Ayrıca daha hafif bir sertlik varsayımı, yani ve bu (bkz. kolay tanık: Üstel zaman ile olasılıksal polinom zamanı "Impagliazzo, Kabanets ve Wigderson). $ZPE \not\subseteq \rm{io-DTIME}(2^{\varepsilon n})$ $BPP = ZPP$

— Veya Meir
kaynak

Derandomizasyondaki herhangi bir ilerlemeyi yasaklamak, bana öyle geliyor ki, Las Vegas Makinesinin hata yapmaması gerekliliği çok önemlidir, bu nedenle bu durumda rastgele olmanın hiç bir yararı yoktur.

Bir için BPP dil , uygun bir algoritma ile karar girdileri üzerine etki, ve rasgele dizi temsil Rastgele seçimleri, sıfır hata kriteri, Las Vegas makinesinin iki durumdan hangisini kesin olarak tespit etmesi gerektiğini tutar. hakkında daha fazla bilgi verilmezse , bu aslında bir kehanet vaat problemidir: bir kehanet hesaplama ve $L$ $A$ $x \in \{0,1\}^n$ $r \in \{0,1\}^{N(n)}$

\underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩾ \frac{2}{3} or \underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩽ \frac{1}{3}

$\Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \geqslant \tfrac{2}{3} \quad\text{or}\quad \Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \leqslant \tfrac{1}{3}$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} (r) = A (x, r)

$A'(r) = A(x,r)$

A^{'}

$A'$ verimler bir çıkış ters çıkış olarak birçok girdi olarak iki kez, en azından için , daha yaygın olan çıkış belirler.

a \in {0, 1}

$a \in \{0,1\}$

1 - a

$1-a$

Las Vegas Makinesi rastgele teknikler kullanabilse de, gerçekten yı bir kehanet olarak ele almak zorunda kalırsak, bir Las Vegas makinesinin kullanabileceği tek stratejinin nispeten kapsamlı (kapsamlı olmasa da) bir araştırma yapmak olduğunu görebiliriz. rasgele dizeleri her biri için verilir ne cevap görmek için. Daha fazla bulursa sadece emin olabilir Ayrı şeritler aynı olan çıkışına her artmasını sağlar; aksi takdirde, küçük (ancak sıfır olmayan!) bir olasılıkla, şanssız olabilir ve olası çıktıların temsili olmayan bir örneğini elde edebilir. Sıfır hata elde etmek için en az girişini örneklemelidir . $A'$ $r$ $2^{N(n)}\!/3$ $r$ $2^{N(n)}\!/3$ $r$

Las Vegas makinesi olası tüm rastgele dizelerin en azından sabit bir kısmını , asimptotik olarak olası tüm rastgele dizeleri kararlı bir şekilde test etmemizden daha iyi değiliz . Brute-force tarafından deterministik olarak yapabileceğimizin ötesinde, sıfır hata ayarında rastgele BPP algoritmalarını simüle etmede asimtotik bir avantaj elde edemiyoruz. $r$

Aynı argümanın BPP ve ZPP arasında bir kehanet ayrımına yol dikkat edin , yani şeklinde bir kehanet vardır, çünkü ZPP algoritması üstel zaman alır, BPP algoritması, kehanetle ilgili soruyu tek bir sorguda çözebilir ve sınırlı hata ile başarılı olabilir. Bununla birlikte, size zaten şüphelendiğinizden (simülasyon yükünün polinomdan daha kötü olabileceğinden) veya asimtotiklerin naif bir deterministik simülasyon kadar kötü olduğunu söylemez. $A$

{Z P P}^{A} ⫋ {B P P}^{A}

$\mathsf{ZPP}^A \subsetneqq \mathsf{BPP}^A$

— Niel de Beaudrap
kaynak

eğer yanılıyorsam beni düzeltin: derandomizasyonun neden imkansız göründüğünü sezgisel bir akıl yürütüyorsunuz, ancak bazı makul varsayımlar altında BPP, ZPP ve P'nin aynı şey olduğunu biliyoruz. böylece sezgi her zaman iyi olmaz

— Sasho Nikolov

Bir şey değil. Derandomization muhtemelen taklit etmek nasıl bir bakış açısı olurdu BPP tarafından P değil mi? Sadece, algoritmanın yapısından faydalanmayan koşulsuz sonuçlar istiyorsa, sıfır hata rastgele bir tane olarak deterministik bir simülasyon gerçekleştirebilir. Yoksa bu açıklamada bir sorun mu var?

— Niel de Beaudrap

tüm söylediğin ZPP tarafından BPP'nin saf kaba kuvvet simülasyonunun P tarafından BPP'nin saf kaba kuvvet simülasyonundan çok daha hızlı olmadığını düşünüyorum ama ne göstermesi gerektiğini göremiyorum. Bana göre bu, 'maksimum eşleşme bulmak için en hızlı algoritmanın ne olduğunu' soran ve bir cevap olarak almak, eşleşmelerin yapısına ilişkin herhangi bir içgörüyü başarısızlığa uğratan, üstel zaman 'gibi birisidir. soru, etkili ZPP simülasyonunu mümkün kılan BPP'nin yapısı hakkında bilinen bazı bilgiler olup olmadığını soruyor

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov: Bu gerçekten derin bir içgörü demek değildi. Sorunun ifadesinden bana, CS.SE'ye göç etmek için sınırda gibi görünüyordu. Kelimenin tam anlamıyla cevaplamaya karar verdim: bildiğimiz kadarıyla , Las Vegas Machine'in L∈BPP dilini kabul eden en verimli beklenen çalışma süresi, kaba kuvvet olasılıklarını araştıran deterministik bir makineden çok daha iyi değil. Bu yazılı Cevapları olabilir olmak bazı bazı koşullar tutun mükemmel ve bilgilendirici ise üst bağlı polinom ve bunun için onları oy; ama asıl soruyu ele alıyorum.

— Niel de Beaudrap

Bu güzel bir cevap olduğunu düşünüyorum (ayrıca şimdi düzenleme sonra daha okunabilir). "P = ZPP, P = BPP'yi ima eder" veya "ZPP = BPP, P = BPP'yi ifade eder" gibi koşullu bir sonuca sahip değiliz, bu nedenle BPP'yi ZP algoritmaları ile deterministik algoritmalardan daha hızlı bir şekilde simüle edebilmemiz mümkündür. Relativizasyon sonucu, bunun herhangi bir relativasyon simülasyonu ile gerçekleşemeyeceğini ima ediyor gibi görünüyor, doğru mu anladım?

— Kaveh