Aralıklarla ilgili güncellemeler ve sıfır sayısını sorgulamak için veri yapısı

boyutu bir tamsayı tablosu korumak ve zaman aşağıdaki işlemlere izin verecek bir veri yapısı arıyorum . $t$ $n$ $O(\log n)$

artırır, . $\text{increase}(a,b)$ $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
azalma. $\text{decrease}(a,b)$ $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
endeksleri sayısını verir, öyle ki . $\text{support}()$ $i$ $t[i]\neq 0$

Her bir azaltma çağrısının, aynı parametrelerle artırmak için bir önceki çağrıyla eşleştirilebileceği vaadine sahipsiniz . Aklımdaki uygulama, zamanında doğrusal dikdörtgenlerin birleştiği alanın zamanını hesaplamak için bir tarama hattı algoritmasıdır . $a,b$ $O(n\log n)$

Dört ağaç büyüklüğüne sahiptir , bu yüzden bir çözüm değildir. Fenwick veya Interval ağaçları doğru lezzete sahiptir, ancak yukarıdaki işlemleri desteklemek için onları nasıl genişleteceğimizi görmüyorum. $\Theta(n^2)$

ds.data-structures cg.comp-geom

— Christoph Dürr
kaynak

Fenwick ağaçları, "azaltmak için yapılan her çağrının, aynı a, b parametreleriyle artırmak için önceki bir çağrı ile eşleştirilebileceği vaadini kullanmaz.

— Jeremy

Sahip olabileceğiniz giriş sayısı en fazla

(tekrarları algılayabilir ve veri yapısına ekleyemezsiniz), yine de ortak ölçü ağacı veri yapısını kullanarak

performansı elde ederiz . Bkz. Cosy.sbg.ac.at/~ksafdar/data/courses/SeminarADS/… slayt 47-52.

n^{2}

$n^2$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Chao Xu

Jérémie ve Chao Xu. Yorumlarınız için teşekkürler. Artık Aralık Ağacının değişen aralık kümelerinin toplam uzunluğunu korumak için nasıl kullanılabileceğini anlıyorum. Bu aslında çok sevimli bir veri yapısı.

— Christoph Dürr

Genel veri yapısı problemi için,

süresinde arama yapmak

boşluğunu gerektirir ; burada

, aktif koordinat çiftleri listesinin boyutudur. Fakat gerçekten de sweepline algoritması

boşluk kalır doğrusal böylece. Sorun hala daha iyi alan bir veri yapısı için açık olan

sırasında,

\log (n^{2}) \in O (\log (n))

$\log(n^2)\in O(\log(n))$

O (p) \subset O (n^{2})

$O(p)\subset O(n^2)$

p

$p$

p \in O (n)

$p\in O(n)$

O (p)

$O(p)$

p \in ω (n)

$p\in\omega(n)$

— Jeremy

İşte aynı soruna diğer çözümlere karşı uygulamalarınızı test edebileceğiniz hoş bir bağlantı: spoj.com/OI/problems/NKMARS

— Erel Segal-Halevi

Yanıtlar:

Segment ağacı kullanın - aralığının daha küçük aralıklara yinelenen bir bölümü . Güncelleme işlemlerinizin her bir aralığı , bu özyinelemeli bölümdeki aralıkların olarak bölümlenebilir. Her aralık deposu için: $[1,n]$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $[x,y]$

, nin bölümlendiği aralıklardan biri olacak şekilde artırılmış ve azaltılmamış aralıklarının sayısı $c(x,y)$ $[a,b]$ $[x,y]$ $[a,b]$
Özyinelemede veya daha düşük aralıkların bölümlenmiş alt kümeleri kapsamında olmayan hücrelerin sayısı $u(x,y)$ $[x,y]$

Sonra özyinelemeli split ve Elimizdeki $[x,y]$ $[x,z]$ $[z+1,w]$

u (x, y) = {\begin{cases} 0 & if c (x, y) > 0 \\ u (x, z) + u (z + 1, y) & otherwise \end{cases}

$u(x,y)=\begin{cases} 0&\text{if }c(x,y)>0\\ u(x,z)+u(z+1,y)&\text{otherwise} \end{cases}$ böylece bir aralıktaki diğer veriler değiştiğinde her

değerini sabit zamanda güncelleyebiliriz . Her destek sorgusu

bakarak cevaplanabilir .

u (x, y)

$u(x,y)$

u (1, n)

$u(1,n)$

Bir artış gerçekleştirmek için işlemi, bölüm içine aralıkları, artım bu aralıkların her biri için ve yeniden hesaplamak için yukarıdaki formül kullanmak bu aralıkların her biri ve atalarının her biri için. Azaltma işlemi, bir artış yerine bir azalmayla aynıdır. $(a,b)$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $c(x,y)$ $u(x,y)$

— David Eppstein
kaynak

İkinci mermini anladığımı sanmıyorum.

etiketli çürük olan alt ağaçta , hangi hücreler

deki aralıklı bölümlenmiş alt kümeler tarafından kapsanmaz ? Tüm aralık

kapsam dışı mı, yani

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

u (x, y) = 0

$u(x,y) = 0$

— jbapple

Hangi artış işlemlerini yaptığınıza bağlıdır. Başlangıçta hepsi açığa çıkar, ancak

(veya

içinde başlayan veya biten ya da bölümünde

içeren) küçük bir aralığı artırdığınızda azalır.

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

— David Eppstein

Bir örnek verebilir misiniz?

— jbapple

Aralığınızın sayı olduğunu varsayalım [1,8]. Yinelemeli olarak [1,4], [4,8], sonra [1,2], [3,4], [5,6] ve [7,8] 'e bölünür, ardından tüm tek element aralıkları. Başlangıçta, her şey ortaya çıkar, tüm c [x, y] = 0 ve her aralık u = uzunluğuna sahiptir. Ama sonra bir artış [2,6] işlemi yaptığınızı varsayın. İçine [2,6] ayrılabilecek O (log n) maksimum aralıkları [2,2], [3,4] ve [5,6] 'dır, bu nedenle bu üç için c [x, y] ayarladık Cevabımdaki formüle göre, bu üç aralık için de u [x, y] 'in 0 olmasına neden olur. u [1,2] 1 olur, u [1,4] da 1 olur, u [ 5,8] = 2 ve u [1,8] = 1 + 2 = 3

— David Eppstein

$\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $\text{support}$ $O(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n})$ $a$ $b$ $\omega(\log n)$

— jbapple
kaynak

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\log n)

$O(\log{n})$