Kromatik ve vektör kromatik sayı arasındaki boşluk ile küçük grafik?

Küçük bir grafiktir arıyorum $G$ olan vektör renk sayısı renk sayısı, daha küçük olan $\chi_v(G)<\chi(G)$ .

( vektör renk sayısı sahip q bir atama ise X : V → R, d köşe komşu ilişkili vektörler birbirinden uzak olan sezgisel bir gerekliliktir. ⟨ X ( h ) , X ( ağırlık ) ⟩ ≤ - 1 / ( q - 1 ) . Örneğin, için q = 3 ., bir üçgen yeterli olurken köşeler)$G$$q$$x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$$\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$$q=3$

Bir grafiğin vektör kromatik sayısı kromatik sayıdan büyük değildir: . Örnekler ile grafikler bilinmektedir χ v ( G ) = 3 χ ( G ) = N ö . (Karger, Motwani, Sudan'ın orijinal makalesi [JACM, 45: 246-265] ( el yazması ) genelleştirilmiş Kneser grafiklerini önermektedir, daha yeni bir makalede rastgele birim vektörlerine dayanan bir yapı kullanılmaktadır.)$\chi_v(G)\leq \chi(G)$$\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

Ben χ v ( K ) = 4 ve χ ( K ) = 8 (bilgisayar hesaplamasına göre) ile bir örnek grafik olduğunu düşünüyorum . Bu grafik 20 köşeye ve 90 kenara sahiptir.$K$$\chi_v(K)=4$$\chi(K)=8$

Daha küçük bir örnek var mı? Cazip bir yol, böyle bir canavar varsa, Chvatal veya Grötzsch grafiğinin somut bir vektör 3-renklendirmesi olacaktır.

( $\chi_v$ tamsayı olmamalı, ancak iyi olurdu. Güncelleme: Aşağıda belirtildiği gibi, integral olmayan durum gerçekten kolaydır. Teşekkürler.)

Güncelleme: Grötzsch ve Chvátal

Chvátal ve Grötzsch grafiklerini vektör 3 renklendirmeyi düşünmeye dayanamadım.

Grötsch grafiği aşağıdaki şekilde 3 renkli olabilir: Beşinci derece düğümü Kuzey kutbuna yerleştirin. 5 derece-4 düğüm, kuzeyden yaklaşık 77 derece aynı enlem üzerine eşit olarak yerleştirilir: Dünya'nın kuzey yarım küresine boyanmış bir pentragram hayal edin. Kalan 5 düğüm (derece 3), kuzey yarımkürede, kuzeyden 135 derece uzakta bulunur. Diğerleri ile aynı boylama sahiptirler. (Bir tane aldığımda bir çizim yükleyeceğim, ancak TikZ'de düşündüğümden jeodezik çizgiler çizmek daha zor.)

Bir SDP çözücüsüne göre, Chvátal bir vektör 3 renklemesini de kabul ediyor, ancak çıktı, yorumlamakta zorlandığım 5 boyuttaki bir grup vektör.

(Üçüncü bir deneme başarısız oldu: Yury'nin yapısından esinlenerek, 5 döngüyü alın ve diğerlerine bitişik bir tepe noktası ekleyin. Bu grafik 4 numaralı kromatiktir. Ama çözücüme göre 3 renk vektörü değil.)

$\chi_v(G)$$G=C_5$

$$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$$

$\chi_v(G)$$G_1$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$G_2=K_5$$G$$G_1$$G_2$

$$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$$

Burada Grötzsch grafiğinin birim küreye gömülmesi: Bu, açık bir şekilde bir vektör renklendirmesine karşılık gelir; örneğin, Kuzey kutbundaki tepe noktası vektör (0,0,1) ile renklendirilir.

Grötsch grafiğinde 3 tip düğüm vardır. Tek dereceli 5 düğüm (Kuzeyde). Beş derece 4 düğüm (Kuzey yarımkürede, N'ye eşit, 3 tanesini yapabilirsiniz). Beş derece 3 düğüm (Güney yarımkürede, N'ye eşit, 3 tanesini yapabilirsiniz).

N, Güney yarımküredeki 5 komşusuna yeşil kenarlarla bağlanmıştır. (Yeşil kenarın, Kuzey yarımküredeki derece 4 köşelerdeki bir olay gibi göründüğüne dikkat edin, ancak bu, gömme işleminin bir artefaktıdır.)

Üstten bakıldığında, düzlemde gömülmesine benzer şekilde, derece 4 düğüm tarafından tanımlanan pentagramı yapabilirsiniz :$C_5$

Son olarak, Güney kutbunun yukarıdan bir görünümü:

Hesaplamalarıma inanılırsa, tüm komşu köşeler birbirinden 120 dereceden fazladır, bu da geçerli bir 3 renklendirme vektörü oluşturur. Grötzsch grafiği 4 renklidir. 11 köşe, 20 kenar. Bu örnek için özellikle mutluyum çünkü vektör boyama 3 boyutludur, görselleştirebilirsiniz. (Ve KMS grafik renklendirme algoritmasını açıklamak için rastgele hiper düzlemler çizin.)