Alt familyalı isabet setleri

İzin Vermek $F$ ailesi olmak $d$-sonlu bir evrenin eleman alt kümeleri $U$nesnelerin. Bir aile$H$ nın-nin $k$-element altkümeleri $U$, ile $1 \le k < d$, bir $(k,d)$- -set isabet arasında$F$ her biri için $V \in F$ en az bir set var $W \in H$ öyle ki $W \subset V$.

Bir koleksiyon verildi $F$ yukarıdaki gibi, $(k,d)$- isabet seti sorunu en küçük bulmaktır$(k,d)$-hitting kümesi $H$ için $F$.

Ne zaman $k = 1$standart vuruş seti problemimiz var ve bunun için daha önceki birçok sonuç var. Dava için parametreli analizleri biliyorum$k = 1$ ve $d \le 3$( örneğin Brankovic ve Fernau'ya bakınız ).

Herkes karmaşıklığı veya yaklaşık sertliği ile ilgili herhangi bir sonuç biliyor mu $(k,d)$ile isabet seti sorunu:

1. $k = 1$ ve $d = 4$?
2. $d = 4$ ve $1 < k < d$?
3. $1 \le k < d$ ve $d$ keyfi?

Sabit için $d$ $(k,d)$- set problemini vurmak orijinalden daha zor değil $d$vuruş seti (örn. $k=1$) hem yaklaşık hem de parametreli karmaşıklık açısından. Basit bir azalma var$kd$-HS - $d$-HS. Bir örnek için$(U,\mathcal{F},d,k)$ ilk sorunun bir örneğini alırız $(U',\mathcal{F'},d)$ her elemanın $e \in U'$ karşılık gelir $k$-element alt kümesi $U$ve her biri $\mathcal{F'}$ içindeki bir kümeye karşılık gelir $\mathcal{F}$ aynı şekilde (ör. tümünü eşleme) $k$-element altkümeleri $U$ içindeki öğelere $U'$). Dan beri$k$ yeni örneğin boyutunun sabit olması, ilk örneğin boyutunun polinom fonksiyonudur ($O(n^k)$). Birinci problem için bir vuruş seti, ikinci problem için aynı kardinaliteye sahip bir vuruş setine karşılık gelir;