Bu kenar renklendirme sorununun karmaşıklığı nedir?

Son zamanlarda, aşağıdaki kenar renklendirme çeşidiyle karşılaştım.

Bağlı bir yönsüz grafiktir göz önüne alındığında, aynı zamanda kısıtlamasını sağlayan sırasında renk sayısını kullanmaktadır kenarları bir renklendirici bulmak her tepe için e kenarları olay , en fazla iki renk kullanım. $v$ $v$

İlk tahminim sorunun NP zor olması. Grafik renklendirme problemleri için klasik NP-sert kanıtlar çoğunlukla 3SAT'den indirgeme ile yapılır. Ancak bence, bu kanıtlar bu sorun için yararlı değildir, çünkü bir tepe noktasına gelen kenarlar aynı renkle renklendirilebilir, bu nedenle grafikte mantık bileşenleri oluşturamayız.

Bu problem NP zor olabilir mi? Evet ise, kanıt nedir? Bir kanıt sunamazsak, bu sorunun karmaşıklığını belirlemek için herhangi bir yöntem var mı?

Teşekkürler!

— RIC_Eien
kaynak

Belki Karışık veya Renk Sınırlı Hipergraf Boyama bir başlangıç olabilir? Örneğin, dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019

— András Salamon

Görünüşe göre probleminiz P'de iki adımda: (1) probleminiz, kenarların maksimum boyutta bir alt kümesini bulmaya eşdeğerdir, böylece her tepe noktası en fazla iki dereceye sahip olur ve (2) ikinci problem, P, örneğin eşleştirmeye indirgeme. (1) ile ilgili olarak, k renkleriyle ilgili sorununuza yönelik herhangi bir çözümün k boyutunda bir derece-2 alt grafiği verdiğini (her renkten sadece bir kenarı koruduğunu) ve tersine k boyutunda herhangi bir derece-2 altgrafının k renkleriyle bir çözüm verdiğini unutmayın. (alt grafikteki her kenarı kendi rengiyle renklendirin, kalan kenarları renklerden herhangi biriyle renklendirin). Neyi kaçırıyorum?

— Neal Young

Cevabınızda birkaç hata olduğu için üzgünüm. İlk başta, "her tepe noktası en fazla iki dereceye sahip olacak şekilde kenarların maksimum boyutlu bir alt kümesini bulma" problemi NP-zordur, 3SAT'a indirgenir (eşleştirmeye nasıl azaltabileceğini gerçekten bilmiyorum). Dahası, "k boyutundaki herhangi bir derece-2 altgrafı", "k renkleriyle bir çözüm" vermez, örneğin, Tam Grafik. Hepinize aynı teşekkürler.

— RIC_Eien

Evet haklısın. Yaklaşık (2), "kenarların geri kalanını renklerden herhangi biriyle renklendirme" adımı, üç rengin bazı tepe kenarlarını verebilir. Ayrı ayrı, Marek Chrobak bana aşağıdaki algoritmayı önerdi. Sanırım 3-yaklaştırıyor: (i) maksimum eşleşen M'yi bul; (ii) her bir kenarı M'de kendi benzersiz rengine boyamak; (iii) kalan kenarları beyaza boyayın.

— Neal Young

@RIC_Eien: Daha fazla utanma riskiyle karşı karşıyasınız .. "Sorunun" her köşenin en fazla iki dereceye sahip olacağı şekilde, kenarların maksimum boyutlu bir alt kümesini bulması "NP-zor olduğundan emin misiniz? G = (V, E) verildiğinde, bipartit G2 = (U, W, E2) oluşturun; burada V'deki her köşe v için U'da v 've W'de v' 've E2 = {(u', w ''): (u, w) E} içinde. Daha sonra G2'deki eşleşmeler G'deki kenar 2 derece kümesine karşılık gelir ve yazışma boyutu korur mu? (G'deki her bir k döngüsü C, G2'de 2k döngüsüne (k tek ise) veya iki k döngüsüne (k eşitse) karşılık gelir.) Böylece G2'deki maksimum eşleşme bunu çözer. Bu sefer ne kaçırıyorum?

— Neal Young

$q$

Bu sorunun parametreli karmaşıklık yönleri bu son makalede ele alınmaktadır .

— vb le
kaynak

Bu güzel sorun hakkında bir süredir düşünüyorum ... İndirgemeyi tarif edebilir misiniz? Makaleye erişimim yok. Teşekkürler!

— user13667

@ user13667 Yazarlardan size makalelerinin bir kopyasını göndermelerini isteyebilirsiniz. Bence bunu yapmaktan mutlu olacaklar.

— vb le

En büyük renk grubunun boyutunu en aza indirirken renk sayısını en üst düzeye çıkaran bir renk bulma ile ilgili soru da incelenmiştir. Örneğin, bu Yüksek Lisans Tezi'nin birkaç ayrıntılı sonucu vardır.

— Neeldhara