Yayılan ağaç sayısını hızlı sayın

$t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

daha hızlı hesaplamanın bir yolu olup olmadığını merak ediyorum . (Evet, hesaplayıcı belirleyici için algoritmalarından daha hızlıdır, ancak bazı yeni yaklaşımlarla ilgileniyorum.) $t(G)$ $O(n^3)$

Ayrıca, özel grafik ailelerini (düzlemsel, belki?) Düşünmekle de ilgileniyor.

Örneğin, circulant grafikler için, de hesaplanabilir kimlik ile aritmetik işlemler burada , Laplacian matrisinin sıfır olmayan özdeğerleridir; bunlar grafikleri için hızlı bir şekilde hesaplanabilir. (İlk satırı bir polinom olarak temsil edin ve daha sonra birliğin Kökleri üzerinde hesaplayın - bu adım Ayrık Fourier dönüşümünü kullanır ve aritmetik işlemlerinde yapılabilir.) $t(G)$ $O(n \lg n)$ $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ $\lambda_i$ $G$ $n$ $O(n \lg n)$

Çok teşekkür ederim!

— Finsky'de
kaynak

Sergey, açıklığı artırmak için sorunuzu düzenlemeye çalıştım. Lütfen sorunuzu doğru bir şekilde anladığımı ve herhangi bir hata bulunmadığını kontrol edin.

— Tyson Williams

Değişmeli gruplar için Cayley grafikler: Burada bulma karmaşıklığı daha hızlı yapılabilir grafik ailelerinden daha genel bir örnek jeneratörleri ayarlanmış , öyle ki, . Bu matrisin özdeğerlerinin de olduğunu biliyoruz , burada grubun farklı karakterleri. Tüm karakterleri bulmak kolaydır (daha fazla bilgi için bu makaleye bakın ) bu karakterleri hesaplamak boyutlu FFT'dir (bkz. Cormen ve diğerleri FFT bölümü), yani .

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Finsky

Cayley grafikleri hakkında daha fazla bilgi için bu kitaba bakın .

— Finsky

Genel bir matris yerine Laplacian ile doğrusal cebir yapmak genellikle daha kolaydır. Bunun alakalı olup olmadığını merak ediyorum.

— Gil Kalai

Mümkünse, tartışılan konuyla doğrudan ilgili olmasa bile, bazı örnekler verebilir misiniz? Teşekkür ederim.

— Finsky

Olduğu bilinen için, bu sınırlı treewidth bölgesinin Tutte polinomu herhangi birinde değerlendirilebilir ile aritmetik işlemleri. Eğer bağlanır, daha sonra . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Radu Curticapean
kaynak