Örneklemenin karmaşıklığı (yaklaşık olarak) Boole işlevinin Fourier dönüşümü

Kuantum bilgisayarların yapabileceği bir şey (muhtemelen sadece BPP + log derinliği kuantum devreleriyle bile), P'deki bir Boole değerli fonksiyonun Fourier dönüşümünü yaklaşık olarak örneklemektir .$\pm 1$

Burada ve aşağıda Fourier dönüşümünü örneklemeden bahsettiğimde, . (Gerekirse ve yaklaşık olarak normalleştirilir).$|\hat f(x)|^2$

P-FOURIER SAMPLING diyebileceğimiz karmaşıklık sınıfını, P'nin yaklaşık örnekleme Boole işlevlerinden bahsedebilir miyiz? Bu sınıf için tamamlanmış problemler var mı?

Boolean fonksiyonlarının X sınıfı göz önüne alındığında, hesaplama karmaşıklığı hakkında söylenebilecek olan X, Fourier fonksiyonlarının X'deki örneklemesini yaklaşık örnekleme konusunda SAMPLING-X olarak ifade edebiliriz. (X'in BQP olması durumunda X-SAMPLING hala kuantum bilgisayarların gücündedir.)

SAMPLING-X'in P olduğu X örnekleri nelerdir? SAMPLING-X'in NP-zor olduğu ilginç örnekler var mı?

Bu sorunun ilginç olabilecek birkaç çeşidi vardır. Fourier tarafında, yaklaşık örneklemeden ziyade, yaklaşık örnekleme ile etkinleştirilen (olasılıkla) bir karar probleminden bahsedebiliriz. İlkel tarafta, olasılık dağılımlarının bir X sınıfı ile başlayabilir ve X'deki bir dağılımı D yaklaşık olarak örnekleme ve (normalleştirilmiş) Fourier dönüşümünü yaklaşık olarak örnekleme yeteneği arasındaki ilişkinin ne olduğunu sorabiliriz.

Kısacası, bu soru hakkında bilinenler.

Güncelleme: Martin Schwarz, tüm Fourier katsayılarının kendilerinin sadece polinom sayısı girişlerine yoğunlaşması durumunda, BPP'de bu büyük katsayılara (ve dolayısıyla yaklaşık olarak örneğe) yaklaşmanın mümkün olduğunu belirtti. ve Kushilevitz-Mansour. Fourier tarafının yaklaşık olarak örneklenmesi için olasılıksal bir polinom algoritmasının bulunduğu ilginç fonksiyon sınıfları var mı, Fourier katsayılarının polinom olarak birçok katsayıdan daha fazla yayıldığı yer?

Daha Sonra Eklendi: Birkaç somut sorundan bahsedeyim.

1) P'deki Boole fonksiyonlarının Fourier dönüşümünü yaklaşık olarak örneklemek ne kadar zordur?

a) Scott Aaronson'un aşağıdaki yorumda bahsettiği bir soru, bunun BPP'de olmadığını göstermektir. Ya da bu görev BPP'de ise bir miktar çökme yaşanıyor. (Scot durumun böyle olduğunu düşünüyor.)

b) Başka bir soru, bu görevin kuantum temelli bir karmaşıklık sınıfına göre zor olduğunu göstermektir. Örneğin, bu görevi gerçekleştirebiliyorsanız, günlük derinlikli kuantum bilgisayarları veya bunun gibi bir şeyle desteklenen BPP'deki karar sorunlarını çözebileceğinizi gösterebilirsiniz.

2) Boolean fonksiyon sınıfları nelerdir? Fourler dönüşümlerini yaklaşık olarak örneklemek P'dir. Bildiğimiz şey, Fourier katsayılarının polinom birçok katsayı üzerinde yoğunlaştığı durumdur, ancak bu çok sınırlı görünmektedir.

3) PH'da bir X-makinesinin hesaplayabildiği her fonksiyonun Fourier dönüşümünü yaklaşık olarak örnekleyebileceği bazı karmaşıklık sınıfı X var mı?

4) Özellikle n x n altıgen bir ızgara üzerinde sızma için geçiş olayının Fourier dönüşümünü örnekleme sorunuyla ilgileniyordum.

$\hat{f}(x)$$O(poly(n))$$\Omega(1/poly(n))$$\sf{BPP}$$\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$