Determinantın tahmini sonuçları

Birinin matrisinin determinstik uzayında belirleyiciyi tam olarak hesaplayabildiği bilinmektedir . Rastgele logaritmik alanda en çok ( ) gerçek bir matrisin determinantına yaklaşmanın karmaşıklık sonuçları, örneğin doğruluk? $n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

Bu bağlamda, sorulması gereken "doğru" yaklaşım - çarpımsal veya katkı maddesi? (aşağıdaki cevaplardan birine bakınız).

determinant cc.complexity-theory

— Lior Eldar
kaynak

Bunların Gerçek RAM'de olması gerekiyor mu?

$\:$

Soruyu doğru bir şekilde anladığımdan emin değilim, ancak aritmetiğin kesinliğine başvurursanız, her bir gerçek sayının günlük (n) bitlerinde saklandığını varsayarım.

— Lior Eldar

Sorunun ayrıntılarını doğru bir şekilde anlamayan bir riskle: Herhangi bir faktör içindeki determinantın yaklaşık olarak tahmin edilebilmesi, bir kare matrisin tekil olup olmadığına karar verebilmeyi gerektirir; bu da bazı sonuçları olmalıdır.

Birincisi, genel bir grafiğin mükemmel bir eşleşmeye sahip olup olmadığı (Tutte matrisi ve Schwarz-Zippel aracılığıyla) için rastgele bir test verir. İkincisinin rastgele günlük alanında bilindiğini sanmıyorum (örneğin, Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi NL için zor olarak bipartit mükemmel eşleme listeler).

— Magnus Wahlström
kaynak

Teşekkürler Magnus, aslında ek bir yaklaşım hatası düşünüyordum, bu durumda bir matrisin tekil olup olmadığını söylemeniz gerekmeyecek. Çok dalgalı yaklaşım da ilgi çekici olabilir, bu yüzden şu anda en iyi tanımın ne olduğundan emin değilim.

— Lior Eldar

@LiorEldar, kesinlikle ek yaklaşım hatası olsa bile, matristeki girdiler tamsayılar ve bağlı hata hatası 0,5'ten azsa, kusursuz bir tekillik testiniz var mı?

— Peter Taylor

Merhaba Peter Taylor, bence 0.5 hassasiyetten önce, bir şekilde desteklediğiniz en büyük operatör normunu belirtmeniz gerekiyor. Bu nedenle, örneğin giriş eğer etmiştir , sonra belirleyici katkı hata olabilir . Bu nedenle, girdiniz size kesilmiş tamsayılar olarak verilse bile, her bir biti, daha sonra belirleyiciye yaklaşmanız gereken maksimum norm , tamsayılar olarak olacaktır , yani yaklaşım hatası çok daha küçük bağıl için.

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— Lior Eldar

Ben norm göre ek hata ile ilgili sorun gerçekten güzel ölçek değildir olmasıdır. Diyelim ki göre yaklaşım hatası veren bir algoritmaya sahibim . Şimdi izin olabilir ile oluşturulan blok köşegen matris kopyalarını blokları olarak. Sonra, ancak , böylece için bir katkı hatası katkı maddesine ölçeklenir hatası .

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— Kevin Costello