Geometrik Karmaşıklık Teorisi Vikipedi tarzı açıklama

Birisi Mulmuley'nin GCT yaklaşımını uzman olmayan kişilerce anlaşılabilir bir şekilde açıklayabilir mi? Konuyla ilgili bir Wikipedia sayfası için uygun olan bir açıklama (şu anda saplama).

Motivasyon: Scott Aaronson'un Quantum Computing adlı kitabını Demokritus'tan bu yana tel teorisinde araştırmacı olan bir arkadaşımla birlikte okuyorum. Kitabın önsözünde, Aaronson GCT'yi “bilgisayar biliminin yaylı teorisi” olarak adlandırıyor. Yaylı bir teorisyen olarak arkadaşım bu iddia için heyecanlandı ve GCT'nin ne olduğunu sordu. Bu noktada utanç verici bir şekilde, sorusu için Wikipedia hazır bir cevabım olmadığını fark ettim.

Wikipedia makalesi için hangi seviyenin uygun olduğunu tam olarak bilmiyorum (farklı makaleler farklı uzmanlık düzeylerine yönelik görünüyor) ya da tam olarak ne aradığınızı. İşte bir deneme, ama geri bildirime açığım.

Geometrik karmaşıklık teorisi, karmaşıklıktaki doğal simetrileri ve üzerinde çalışılan fonksiyonların ek simetrilerini kullanarak hesaplama fonksiyonlarının (örneğin, polinomlar) hesaplamalı karmaşıklığını incelemeyi önerir .

Birçok önceki yaklaşımlar ile olduğu gibi, nihai amaç iki karmaşıklık sınıfları ayırmaktır bir polinom olduğunu göstererek s fonksiyon alan f (kendi katsayısı vektörler tarafından söz sahibi,) girişlerine olduğu gibi p , her fonksiyonu üzerinde kaybolur f ∈ Cı e bir s y ancak işlevi ortadan yok g h bir r d ∈ Cı saat bir r d .$\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$$p$$f$$p$$f \in \mathcal{C}_{easy}$$g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

İlk ana fikir (çapraz başvuru [GCT1, GCT2]), fonksiyonların kendilerini düzenlemek için değil, yukarıdaki p gibi polinomların yakaladığı gibi, bu fonksiyonların ( cebirsel geometrik ) özelliklerini düzenlemek için simetrileri kullanmaktır . Bu, temsil etme teorisinin böyle bir p bulma girişiminde kullanılmasını sağlar . Temsil teorisi ve cebirsel geometri ile ilgili benzer fikirler daha önce cebirsel geometride daha önce kullanılmıştı, ama bildiğim kadarıyla asla bu şekilde.$p$$p$

İkinci anahtar fikir (çapraz başvuru [GCT6]), ortaya çıkan gösterim teorik problemleri için birleştirme (ve polinom-zaman) algoritmaları bulmak ve daha sonra böyle bir var olduğunu göstermek için bu algoritmaları tersine mühendislik yapmaktır . Bu, bazı tamamen birleşimsel ifadeleri kanıtlamak için Doğrusal Programlama (algoritma) kullanma ruhuyla alınabilir .$p$

Aslında, [GCT6], temsil teorik problemlerini yukarıdaki Tamsayı Programlama problemlerine indirgemeyi , ardından ortaya çıkan IP'lerin LP gevşemeleriyle çözüldüğünü ve son olarak da sonuçta elde edilen LP'ler için birleşik algoritmalar verdiğini göstermektedir. [GCT6] 'daki varsayımlar, temsil teorisinde benzer ancak daha kolay bir problem olan Littlewood-Richardson katsayıları için ters mühendislik bilinen sonuçlarla kendilerini motive ediyorlar. LR katsayıları durumunda, Littlewood-Richardson kombinatoryal kuralı ilk olarak geldi. Daha sonra Berenstein ve Zelevinsky [BZ] ve Knutson ve Tao [KT] (arkadaşça bir genel bakış için bakınız [KT2]) LR katsayıları için bir IP verdi. Knutson ve Tao ayrıca IP'nin LP gevşemesi ile çözüldüğünü ima eden doyma tahminini kanıtladılar (çapraz başvuru [GCT3, BI]).

[GCT5] 'in sonuçları, Noether'in Normalizasyon Lemma'sının açıkça derandomize edilmesinin, polinom özdeşlik testinin kara kutu derandomizasyonunun karmaşıklık teorisindeki temel açık problem ile eşdeğer olduğunu göstermektedir . Kabaca bu nasıl uyuyor daha büyük programa fonksiyonları için net bir dayanak bulma olmasıdır (yok) bu konuda kaybolur C e bir s y (bu durumda, belirleyici tamamlandığında hangi sınıfı) derived a için kullanılabilir Cebirsel geometride diğer ortamlarda olduğu gibi, temsil teorisinde istenen problem için kombinasyon kuralı. Buradaki orta adım, p için temel bulmak olacaktır.$p$$\mathcal{C}_{easy}$$p$(yok) normalleşmesi ile yok olması , diğer bir deyişle, DET için Noether Normalizasyon Lemma derandomize göre - inşaat tarafından güzel bir cebirsel çeşididir.$\mathcal{C}_{easy}$

Karmaşıklık simetrileri ve fonksiyon örnekleri

Örneğin, bir işlev karmaşıklığı - karmaşıklığı en doğal kavramlar - onu değişkenler permute ise değişmeden f ( x π ( 1 ) , ... , x π ( n ) ) ile bazı permütasyon π . Böylece permütasyonlar karmaşıklığın simetrisidir. Bazı karmaşıklık kavramları için (cebirsel devre karmaşıklığında olduğu gibi) değişkenlerin tüm ters çevrilebilir doğrusal değişimleri simetridir.$f(x_1, \dotsc, x_n)$$f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$$\pi$

$\det(X)$A , B det ( A B ) = $\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$$A,B$$\det(AB) = 1$

Bazı Son Gelişmeler [bu bölüm kesinlikle eksik ve daha teknik, ancak tam bir hesap onlarca sayfa alacak… Sadece bazı son gelişmeleri vurgulamak istedim]

Burgisser ve Ikenmeyer [BI2] , GCT programını izleyen sıfır ile sıfır olmayan çarpmalara sahip gösterimleri kullanmaya devam ettiği sürece, GCT programını takip eden bir alt sınır göstermiştir. Landsberg ve Ottaviani [LO], cebirsel özellikleri düzenlemek için temsili teorisi kullanarak, fakat temsili çokluklarını veya birleştirme kurallarını kullanmamakla birlikte, temsili teorisi kullanarak, matris çarpımının sınır rütbesinde esasen sınırını vermiştir.2n$\frac{3}{2}n^2$$2n^2$

Littlewood-Richardson katsayılarından sonraki problem Kronecker katsayılarıdır . Bunlar, sonunda GCT'de ortaya çıkan temsil teorik sorunlarına ve daha sonra doğrudan GCT yaklaşımında matris çarpımına ve kalıcıya karşı determinanta bağlı çokluklar üzerindeki sınırlar olarak ulaştığından şüphelenilen bir dizi problemde ortaya çıkar. Kronecker katsayıları için birleşik bir kural bulmak, temsil teorisinde uzun zamandır açık olan bir sorundur; Blasiak [B] kısa süre önce, bir kanca şeklindeki Kronecker katsayıları için böyle bir kombinasyon kuralı verdi.

Kumar [K], belirleyicinin koordinat halkasında sıfır çarpım çokluğuyla belirten bazı göstergelerin ortaya çıktığını gösterdi, Latin kare varsayımını sütununa (cf. Huang-Rota ve Alon-Tarsi sütununa göre); ]). Dolayısıyla, bu gösterimler sıfırdan zıt olmayan çokluklar temelinde kalıcıyı determinanttan ayırmak için kullanılamaz, ancak kalıcıları determinanttan çokluklar arasındaki daha genel bir eşitsizlikle ayırıcıdan ayırmak için kullanmak mümkün olabilir.

Kaynaklar [B] J. Blasiak. Bir kanca şekli için Kronecker katsayıları. arXiv: 1209.2018, 2012.

[BI] P. Burgisser ve C. Ikenmeyer. Littlewood-Richardson katsayılarının pozitifliği için maksimum akış algoritması. FPSAC 2009.

[BI2] P. Burgisser ve C. Ikenmeyer. Geometrik Karmaşıklık Teorisi ile Açık Alt Sınırlar. arXiv: 1210.8368, 2012.

[BZ] AD Berenstein ve AV Zelevinsky. ve bitişik gösterimin dış cebirindeki spektrum için üçlü çarpımlar . $\mathfrak{sl}(r+1)$J. Cebirsel Kombin. 1 (1992), no. 1, 7–22.

[GCT1] KD Mulmuley ve M. Sohoni. Geometrik Karmaşıklık Teorisi I: P ve NP'ye İlişkin Bir Yaklaşım ve İlgili Problemler SIAM J. Comput. 31 (2), 496-526, 2001.

[GCT2] KD Mulmuley ve M. Sohoni. Geometrik Karmaşıklık Teorisi II: Sınıf Çeşitleri Arasında Yerleşimlerin Açık Engellerine Doğru. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175-1206, 2008.

[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan ve M. Sohoni. Geometrik karmaşıklık teorisi III: Bir Littlewood-Richardson katsayısının kaybolmamasına karar verilmesi üzerine. J. Cebirsel Kombin. 36 (2012), no. 1, 103-110.

[GCT5] KD Mulmuley. Geometrik Karmaşıklık Teorisi V: Polinom kimliği testinde kara kutu derandomasyonu ve Noether Normalizasyonu Lemma'sının derandomasyonu arasındaki denklik. FOCS 2012, ayrıca arXiv: 1209.5993.

[GCT6] KD Mulmuley. Geometrik Karmaşıklık Teorisi VI: Pozitifliği ile çevirme. , Teknik Rapor, Bilgisayar Bilimleri Bölümü, Chicago Üniversitesi, Ocak 2011.

[K] S. Kumar. Belirleyicinin yörüngesinin kapanması ile desteklenen temsillerin incelenmesi. arXiv: 1109.5996, 2011.

[ÖK] JM Landsberg ve G. Ottaviani. Matris çarpımının sınır sırası için yeni alt sınırlar. arXiv: 1112.6007, 2011.

[KT] A. Knutson ve T. Tao. tensör ürünlerinin petek modeli . I. Doyma tahmininin kanıtı. $\text{GL}_n(\mathbb{C})$J. Amer. Matematik. Soc. 12 (1999), no. 4, 1055-1090.

[KT2] A. Knutson ve T. Tao. Petek ve Hermitiyen matrislerin toplamları. Amer. Matematik. Soc. 48 (2001), no. 2, 175-186.

Geçenlerde Mathoverflow ile ilgili bir soruya cevap verdim https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-theory

Bu site belki de daha iyi bir yer olduğundan, bu cevabı aşağıda tekrarlamama izin verin. Joseph ya da Timothy'ye yapılan referanslar, bu MO sorusunun diğer yayınları hakkında.

---

Let , genel olarak matrisi ve derecesi verilen homojen polinom determinant Let ki alır bir kalıcı derecesi için diğer bir homojen polinom hale getirmek için bir favori lineer formu submatrix ve çarpma (bir de giriş kullanabilir yerine ). Bu modifikasyona dolgu denir . O zaman numarayı tanımla $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$$n\times n$$F_1(X)={\rm det}(X)$$n$

$$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$$ $m\times m$$n$$X_{11}$$X_{nn}$ $$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$$ olan boyut afin alan üzerine etki eden burada ömürleri ve yörüngelerinin Zariski kapaklar bulunmaktadır. Bölgedeki büyük varsayım veya Valiant'ın Hipotezi ( in karmaşık bir versiyonu ) nin cinsinden herhangi bir polinomdan daha hızlı büyümesidir .$G$$GL(n^2)$$n^2$$X$$\overline{G\cdot F_i}$${\rm P}\neq{\rm NP}$$c(m)$$m$

Şimdi, eğer , o zaman birinin bir eşdeğeri haritası bu yörünge kapanmalarının koordinat halkalarının derece bölümleri arasında . Oyun bunun için, olmaz göstermek için çalışmaktır Yani için yeterince büyük akrabası , bir varlığını kanıtlayarak çokluğu tıkanıklığı , yani bir indirgenemez temsil çokluklar tatmin olan $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$$G$

$$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$$ $d$$n$$m$$\lambda$ $${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$$ veya idealler düzeyinde $${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$$

İyimser bir yaklaşım, orada oluşma engelleri olduğunu göstermeye çalışmaktır , yani, öyle ki ve . Bu umut, Timothy'nin bahsettiği Bürgisser, Ikenmeyer ve Panova'nın çalışmalarında ezildi. Bununla birlikte, çokluk engelleri olasılığı hala açıktır.$\lambda$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

Mulmuley'in yaklaşımının, bu çoklukların hesaplanmasında temsil teorisinde mevcut tüm araçları kullanarak bu çokluk engellerinin varlığını kanıtlamaya çalışmak olduğunu düşünüyorum. Şahsen ben bu yaklaşımın hayranı olmadım. 19. yüzyılda değişmeyen teoriyi biraz derinlemesine incelemişken, o dönemin açık araçlarını kullanarak yörünge ayrımı sorununa yaklaşmak benim için daha doğal görünüyor. Gorchow'un bu makalesi de benzer bir yönü işaret ediyor gibi gözüküyor (Joseph'in bahsettiği üçüncü makalenin aynı şekilde olduğunu düşünüyorum). Klasik dilinde (bkz Turnbull veya Littlewood , tek zorundadır) açıkça bir inşa karışık eş zamanlı üzerinde kaybolur$F_1$ama değil . Birinin ayrıca, süper polinom büyüme özelliğini oluşturmak için bunu sonsuz sıklıkla ( cinsinden) yapması gerekir. Bu tür bir birlikte, belirli bir aynıdır indirgenemez temsil için favori modelinden -equivariant harita polinom cebire değişken (Grochow bir aramaları ayırma modülü ). 19. yüzyıldaki değişmez teorisyenlerin bu tür nesneler üretmenin iki yöntemi vardı: eliminasyon teorisi ve diyagramsal cebir .$F_2$$m$$G$$\lambda$$n^2$$X$

ve eylemi altındaki ikili formlar olduğu bir bebek örneği ( bu MO sorusuna bakınız ), ve (Burada bildirdiğinden aslında) bir ayırma birlikte genel bir ikili quartic Hessian olan için (aynı ) kaybolur ancak$F_1$$F_2$$G=SL(2)$

$$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$$ $$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$$ $F$ $$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$$ $x,y$$F=F_1$$F=F_2$. Bu durumda, Hessian, ikinci simetrik gücün (temel iki boyutlu gösterimin) ikilik kuartiklerin afinatı alanı için koordinat halkasına verilen indirgenemez bir harita olarak görülebilir.

Bu nedenle, GCT için muhtemel bir süperoptimistik "plan", aşağıdaki adımlar dizisini içerir.

1) Tonlarca birlikte üretmenin bir yolunu bulun.

2) üzerindeki kaybolan bazı açık adayları belirleyin ve bu mülkü kanıtlayın.$F_1$

3) yok olmadıklarını .$F_2$

Aşama 1) prensipte için Birinci Temel Teorem tarafından çözülmüştür ancak bir uyumsuzluk vardır: belirleyici için değişmeyen teoride doğal bir nesnedir (sıralar üzerinde etkilidir) ve sütunlar), den ziyade . Değişmeyen teorisinin temel yapı taşını için olan cinsinden ifade ederek uyuşmazlığı gidermeye çalışılabilir ( benzer bir azaltma problemi için bu MO sorusuna bakın dan için ).$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$GL(n^2)$$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$SL(n(n+1)/2)$$SL(n)$

Adım 2 için doğru adayları tahmin etmek) bana zor geliyor. Bazı çoklukları olduğunu önceden bilmek , sıfır olmayan olur kesinlikle yardımcı olurlar. Bununla birlikte, bir kimse bundan daha fazlasını göstermesi gereken 3. Aşama'ya eşlik etmeyen ortadan kaybolma ispatı erteleyebilir ve erteleyebilir. Eğer böyle bir hak sahibi varsa, de ortadan göstermek, Pauli'nin hariç tutma ilkesini (antisimetrizasyonlarla ), yüksek kromatik sayı özelliğini ya da sadece “yer eksikliği” olarak adlandırabilir. F ${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$$F_1$

Ancak bence en zor kısım Adım 3'tür. Örneğin, makalemde "Ottaviani'nin kübik üçlü katmanlarının değişmeyenleri için 16.051 formülleri" Ikenmeyer ve Royle ile birlikte, tahminler bilgisayar araştırması ile yapıldı, ancak sağdaki aday ile, kaybolmanın açıklaması oldukça kolaydı. grafiğin küresel özelliklerinden dolayı büyük bir klikeden ziyade kromatik sayının güzel bir örneği). Makalemizdeki Adım 3) 'ün analoğu kaba kuvvet bilgisayar hesaplamasıyla yapıldı ve neden doğru olduğu konusunda hala bir ipucumuz yok. 3. Adımla ilgili paradigmatik problem Alon-Tarsi varsayımıdır ( bu MO sorusuna ve bu soruna bakınız).$F_1$çok). Benim düşünceme göre, Valiant's Conjecture'den önce bu tür bir soru üzerinde ilerleme yapılması gerekiyor ( Dört Renk Teoremi , Kauffman ve Bar-Natan'dan kaynaklanan bir azaltma yoluyla da bu türdendir ).

Çünkü soru GCT’deki atılımlar hakkında. Bence Landsberg ve Ressayre'nin bu makalesi , nin tam değeri için makul bir tahminin olduğunu öne sürdüğü için bazı dikkatleri hakettiğini düşünüyorumBu makalede Bürgisser ve Ikenmeyer tarafından çok daha basit bir problem için "Adım 1), 2), 3) yaklaşımı" kavramının açık bir kanıtı verildiğine dikkat edin . Son olarak, GCT hakkında daha fazla bilgi için, Landsberg tarafından "Geometrik karmaşıklık teorisi: geometrilere giriş" konusunu şiddetle tavsiye ediyorum .( 2 m, m ), - 1 $c(m)$

$$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$$

Not: Karamsarlığımın, “Riemann Hipotezi” olan Valiant Hipotezine özgü olduğunu eklemeliyim. Tabii ki, biri bebeği banyo suyuyla atmamalı ve GCT'yi inkar etmemelidir, çünkü şu ana kadar bu varsayımı kanıtlayamadı. İlerlemenin yapıldığı ve daha fazla ilerleme beklendiği bu alanda daha fazla yaşanabilir sorun var. Özellikle yukarıda belirtilen makaleye bakınız: Grochow ve Landsberg tarafından gözden geçirilmiştir.

GCT, karmaşıklık teorisinin sınırlarını kanıtlamak için bir araştırma programıdır ve bir şekilde ağır soyutlama nedeniyle bir wikipedia tarzı soyut / özeti tanımlamaktadır, ancak TCS kalabalığı için iyi anketler mevcuttur. [2] [3] [4] (ve kesinlikle Wikipedia, wikipedia girişleri için en iyi yer). 2000'li yılların başında Mulmuley tarafından formüle edilmiştir ve hem karmaşıklık teorisinde nispeten yenidir hem de TCS / karmaşıklık teorisinde yer almayan ileri matematik (cebirsel geometri) kullanarak ve uygulayarak çok ileri düzeydedir.

Bu yaklaşım bazı yetkililer tarafından ümit verici fakat muhtemelen çok karmaşık olduğu düşünülmektedir, yani kanıtlanmış değildir ve bu nedenle bilinen standart “engellerin” üstesinden gelip gelemeyeceği konusunda tartışmalıdır. (bu anlamda Kuhnian “paradigma kayması” olarak adlandırılan bazı işaretler sergiliyor.) Mulmuley bile, on yıllarca süren gelişimden sonra gerçekçi bir şekilde (büyük karmaşıklık sınıfı ayrımlarını kanıtlarken) başaramayacağını öne sürüyor. Burada karmaşıklık teorisi alanında önde gelen otorite Fortnow'un şüpheci bir görüşü var: [1]

Büyük bir dağ düşünün ve dağa ulaşmak istiyorsunuz. Ketan geliyor ve size dağa tırmanmak için gerekli araçları nasıl yaratacağınızı öğreteceğini söylüyor. Çok aylarca çalışmanız gerekecek ve aslında bu araçlar dağa tırmanacak kadar iyi değil. İyileştirilmeleri gerekiyor ve bu gelişmeler hayatınızda gerçekleşmeyecek. Ama başkalarının bundan sonraki dağ yüzyıllarına nasıl tırmanacaklarını öğrenmek istemiyor musunuz?

[1] NP’yi P Fortnow blog’undan farklı olarak nasıl kanıtlayabilirim?

[2] NP vs P Mulmuley-Sohoni Yaklaşım anlama Regan

[3] P ve NP ve Geometrik Karmaşıklık Teorisi Üzerine Mulmuley

[4] GCT’ye karşı P / NP problemi olan Mulmuley