Logspace'i Polinom zamanından ayırma

Deterministik logspace'de ( ) saptanabilen herhangi bir problemin en çok polinom zamanda ( ) ortaya çıktığı açıktır . ve arasında bir çok karmaşıklık sınıfı var . Örnekler arasında , , , , , . olduğuna inanılmaktadır .P L P K L L O g Cı- F L , N Cı- ı G A C ı bir Cı i S Cı i L ≠ $L$$P$$L$$P$$NL$$LogCFL$$NC^i$$SAC^i$$AC^i$$SC^i$$L \neq P$

Blog yayınlarımdan birinde kanıtlamak için iki yaklaşımdan (ilgili varsayımlarla birlikte) bahsettim . Her iki yaklaşım da dallanma programlarına dayanmaktadır ve 20 yıl arayla !! Orada, diğer yaklaşımları ve / veya ayırma yönünde varsayımlar olabilir den arasında herhangi bir ara sınıfları ayıran (veya) ve .L P L $L \neq P$$L$$P$$L$$P$

Bir süper-: Devre derinliği alt sınır (eşit biçimde, formül boyutu alt sınır) büyük olasılıkla en doğal bir yaklaşım vardır derinliği bir sorun için bağlı alt ayırmak olur den ve Karchmer-Wigderson iletişim karmaşıklığı tekniği bunun için doğal olanı olabilir.P P $\log^2(n)$$\mathsf P$$\mathsf P$$\mathsf L$

[1], bit boyutları, grafiğin boyutuna göre yeterince büyük olan (ancak yine de doğrusal olan) mincost-akış örnekleri için daha düşük bir sınır olduğunu kanıtladı ve ayrıca, eğer birinin yeterince küçük girişler için aynı alt sınır gösterebileceğini kanıtladı. bit büyüklüğü (ve dolayısıyla P ≠ L ) anlamına gelir. Bu, yüksek düzeyde, Noam'ın cevabın devre derinliği alt sınırlarının kanıtlanması (= formül boyutunda düşük sınırlar) ile ilgili olduğu cevabı ile aynıdır, ancak Karchmer-Wigderson oyunlarından çok farklı bir yön gibi görünmektedir.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

Daha detaylı olarak, [1] aşağıdakileri gösterir. Kağıt ile aynı gösterim kullanılarak, let mincost akışlı dili göstermektedirler. Bit-dizgilerle kodlanan tamsayılarla, L ( n ) olarak gösterilen n- vertex grafiklerdeki mincost-akış dilini, bazı k ( n ) = Θ ( n 2 ) için Z k ( n ) ' in bir alt kümesi olarak düşünebiliriz. . Let B ( a , n ) tüm vektörlerin grubu belirtir , Z , k ( n $L$$n$$L(n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$$k(n) = \Theta(n^2)$$B(a,n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$Her bir tamsayı koordinatının en fazla büyüklüğüne sahip olduğu yerlerde . Bir işlev Verilen f ( x 1 , ... , x k ) (biz tür fonksiyonun ne daha sonra belirtmek gerekir), bunu söylemek f'in ayırır L ( n ) içinde B ( a , n ) noktalarında ise L ( n ) ∩ B ( a , n ) aynen böyledir → x ∈ B ( a $an$$f(x_1, \dotsc, x_k)$$f$$L(n)$$B(a,n)$$L(n) \cap B(a,n)$ öyle ki f ( → x ) = 1 .$\vec{x} \in B(a,n)$$f(\vec{x}) = 1$

Önerme [1, Önerme 7.3] Eğer , B ( a , n ) ' de det ( M ( → x ) ) ile , burada , girişleri " büyüklüğünde bir matristir ( karmaşık) ve böyle , sonra gibi doğrusal kombinasyonlar .$L(n)$$B(a,n)$$\det(M(\vec{x}))$≤ 2 n / d x 1 , … , x k a < 1 / ( 2 d ) P ≠ N $M$$\leq 2^{n/d}$$x_1, \dotsc, x_k$$a < 1/(2d)$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

Burada bit-bit ile boy - arasındaki ilişki çok önemlidir. Aynı makalede, gösterdi:2 , n /$an$$2^{n/d}$

Teorem [1, Teorem 7.4] Önceki önermenin hipotezi, yeterince büyük bit sınırları .$a$

Yukarıdaki teoremin ispatı kara kutu olarak bazı ağır çekiçleri kullanıyor, ancak başka türlü basit (not: "basit" " kolay "). Yani, gerçek yarı-yarı-çeşitlilikteki bağlı bileşenlerin sayısına bağlı olan Milnor-Thom'u kullanır (Ben-Or tarafından gerçek hesaplama ağacı modelinde Element Farklılığı / Sınıflandırmada daha düşük sınırlar elde etmek için kullanılan aynı sınır), Collins dekompozisyonu ( ), genel bir pozisyon argümanı ve diğer birkaç fikir üzerinde etkili nicelleştirici kanıtlamak için kullanılır . Bununla birlikte, bu tekniklerin tümü sadece dahil olan polinomların derecesine bağlıydı ve bu nedenle yukarıdaki olduğu gibi ispatlamak için kullanılamaz (gerçekten, [1, Prop. 7.5] polinom kurarR P ≠ K Cı g det g $\neq$$\mathbb{R}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$g$ aynı derecede , yukarıdaki teklif yerine ile başarısız olur . Bu durumu analiz etmek ve derecenin ötesine geçen özellikleri aramak GCT'nin ilham alanlarından biriydi.$\det$$g$$\det$

[1] K. Mulmuley. Bit İşlemleri Olmadan Paralel Modelde Düşük Sınırlar . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460-1509, 1999

Arkadaşım James'in uzun zamandır bu konunun yeniden ateşlendiğini söylediği günlerdi. Bunun için teşekkür ederim.

Ayrıca, L vs Log (DCFL) ve Log (CFL) ile ilgili bazı ilginç referansları paylaşmak için bir dürtü vardı. İyi günler!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

Bu yeni makale, Luca Aceto tarafından, blogunda ICALP 2014'te EATCS'in en iyi öğrenci makalesi olarak vurgulandı ve NL / P'yi ayırmanın yeni bir yolunu buldu:

• Boşluk Dışı Boşlukta Sertlik Sonuçları Wehar

  DFA'ların (deterministik sonlu otomata) kavşaksızlık probleminin karmaşıklık sınıfını karakterize ettiğini göstermek için bir Karakostas, Lipton ve Viglas (2003) yapısını dikkatlice inceliyoruz. İkili çalışma bant alfabesi ile sınırlı olmadığını Özellikle, ardından sabitlerini orada var ve c 2 her için böyle k için kavşak olmayan boşluk k DFA içinde çözülebilir olduğu c 1 k günlüğüne ( n ) alan, ancak çözülebilir değildir c 2 k günlüğü ( n $c_1$$c_2$$k$$k$$c_1 k \log(n)$$c_2 k \log(n)$alanı. Biz DFA kesişme olmayan boşluk keyfi sayıda göstermek için inşaat optimize içinde çözülebilir değildir alanı. Bir işlev mevcutsa Ayrıca,f(k)=O(k), örneğin, her söz konusukkesişme olmayan boşlukk DFA içinde çözülebilir olduğu, nf(k)zaman, P ≠ NL. Böyle bir sabitcyoksa , herkkesişme noktası içinkDFA'lar içinboşluksuzluk,n$o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$$f(k) = o(k)$$k$$k$$n^{f(k)}$$c$$k$$k$$n^c$ P, NL'den büyük herhangi bir uzay karmaşıklığı sınıfı içermez.