İlginç NP sorunları için ikinci dereceden alt sınırları kanıtlamanın zorluğuna dair bir açıklama var mı?

Bu benim önceki sorumun bir devamı:

NP'de doğal bir problem için en iyi bilinen deterministik zaman karmaşıklığı alt sınırı

İnsanların önemsediği ve daha iyi algoritmalar tasarlamaya çalıştığı ilginç bir NP problemi için herhangi bir kuadratik deterministik zamanın alt sınırını kanıtlayamadığımızı şaşırtıcı buluyorum. Üstel Zaman Hipotezi varsayımımız, SAT'ın altel üstel deterministik zamanda çözülemediğini, ancak SAT'ın (veya başka bir ilginç NP sorununun) ikinci dereceden zaman gerektirdiğini bile kanıtlayamayız!

İlginç olanın biraz öznel ve belirsiz olduğunu biliyorum. Bir tanımım yok. Ama ilginç bir sorun olduğunu düşündüğüm şeyi açıklamaya çalışalım: Birkaç kişiden daha ilginç bulan sorunlar hakkında konuşuyorum. Temel olarak bazı teorik soruları cevaplamak için tasarlanmış yalıtılmış problemlerden bahsetmiyorum. İnsanlar bir sorun için daha hızlı algoritmalar bulmaya çalışmıyorsa, sorunun o kadar da ilginç olmadığını gösterir. İlginç sorunların somut örneklerini istiyorsanız, Karp'ın 1972 belgesindeki veya Garey ve Johnson 1979'daki (çoğu) sorunları düşünün.

Herhangi bir ilginç NP sorunu için neden ikinci dereceden deterministik zaman alt sınırını kanıtlayamadığımızın bir açıklaması var mı?

— Anonim
kaynak

Çünkü alt sınırlar zor mu? Ne tür bir açıklama sizi tatmin eder?

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E bilgilendirici ve anlayışlı olan önemsiz açıklamalara ne dersiniz? Neden daha düşük sınırları kanıtladığımız yerde sıkışıp kaldığımızı açıklayan sezgi veya sonuçlar. İddialarımız sonuçlarımızdan çok daha güçlü olduğu için, diğer uzmanların on yıllardır denedikten sonra neden ilginç bir NP probleminde ikinci dereceden bir alt sınır elde edemediğimizi düşündüklerinden eminim.

— İsimsiz

İşte Lipton'un blogundan bir açıklama; Yem ve Anahtar: Alt Sınırlar Neden Bu Kadar Zor? rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/…

— Mohammad Al-Turkistany

n^{2}

$n^2$

İkinci dereceden daha düşük sınırlar sorunu, algoritmaları çok az alan (örneğin, polilog) ile kısıtladığınızda veya tek bantlı Turing makinelerine (belleğe çok sınırlı erişimi olan) baktığınızda önemlidir. Ancak bellek sınırsız ve bellek erişimi sınırsız olduğunda, "gerçek" soru, herhangi bir rastgele erişimli hesaplama modelinde ilginç NP problemleri için süper lineer zaman alt sınırlarının olup olmadığıdır. (Grandjean, çok bantlı Turing makineleri için bazı süper doğrusal alt sınırlar kanıtladı, ancak tek boyutlu bantların yapısına güveniyorlar.)

— Ryan Williams

Yanıtlar:

İşte Lipton'un blogundan bir açıklama: Bait and Switch: Alt Sınırlar Neden Bu Kadar Zor?

$n^2$

Rudich'in içgörüsü, aşağıdaki yönteme dayandığı alt sınır kanıtlarının neden işe yarayamayacağını açıklar.

$f$ $f$

Temel olarak, Rudich'in Yem ve Anahtar hünerinden kurtulabilecek ve başarılı bir şekilde alt sınırlara yol açabilecek bir ilerleme ölçüsü yoktur.

— Muhammed El-Türkistan
kaynak

Arora-Barak'ın doğal ispat bölümünde "yem ve anahtar" argümanının başka bir görünümünü bulabilirsiniz . Aynı argümanı, "resmi karmaşıklık ölçüsü" stili alt sınır argümanının yüksek olasılıklı rastgele işlevler için geçerli olması gerektiğini savunmak için kullanırlar. Ancak resmi bir karmaşıklık ölçüsü

rastgele bir işleve yüksek karmaşıklık atar
kolay bir işleve yüksek karmaşıklık atamaz
bir fonksiyonun doğruluk tablosundan kolayca hesaplanabilir

daha sonra psödorandom jeneratörlerini kırmak için kullanılabilir. Gayri resmi olarak doğal kanıt bariyeri budur. 1. alt sınırlara birçok yaklaşım için çok makul, 2 olmadan karmaşıklık ölçüsünün faydasız göründüğünü ve 3. en çok kombinatoryal varlık kanıtını verimli algoritmalara dönüştürebildiğimiz gözlemine dayandığını iddia ettik. doğal olarak yapıcı olmayan bir kanıtın oluşturulması zor bir sezgi.

$C$ $C'$ $C'$ $C$

— Sasho Nikolov
kaynak