İsteğe bağlı kapı kümeleri üzerinde daha düşük sınırlar

1980'lerde, Razborov ünlü hesaplamak için katlanarak birçok VE ve VEYA kapıları gerektiren açık monoton Boolean işlevlerinin (CLIQUE işlevi gibi) olduğunu gösterdi. Bununla birlikte, {0,1} Boole alanı üzerindeki {AND, OR} temeli, evrensel olmanın yetersiz kaldığı ilginç bir geçit setinin sadece bir örneğidir. Bu benim soruma yol açar:

Devre boyutunda üssel düşük sınırlar bilinen monoton kapılardan ilginç şekilde farklı olan başka bir kapı grubu var mı (devre üzerinde derinlik veya başka kısıtlamalar olmadan)? Olmazsa, Razborov'un monoton devrelerinin sonucu olmadığı gibi, bu tür daha düşük sınırlar için uygun bir aday olan --- mutlaka Doğal Kanıtlar bariyerini kırmayı gerektirmeyen sınırlar var mı?

Eğer böyle bir geçit seti varsa, kesinlikle k certainly3 için bir k-ary alfabesinin üzerinde olacaktır. Bunun nedeni, ikili bir alfabe üzerinde

(1) monoton kapılar ({AND, OR}),

(2) doğrusal kapılar ({NOT, XOR}) ve

(3) evrensel kapılar ({AND, OR, NOT})

temel olarak, Post'un sınıflandırma teoreminden aşağıdaki ilginç olasılıkları tüketin. (İkili durumda --- 0 ve 1 sabitlerinin --- her zaman ücretsiz olduğunu varsaydığımı unutmayın.) Doğrusal kapılarla, her Boolean işlevi f: {0,1} ⁿ → {0,1} hiç hesaplanabilir doğrusal boyutlu devre ile hesaplanabilir; evrensel bir set ile tabii ki Doğal Kanıtlar ve diğer korkunç engellere karşıyız.

Öte yandan, 3- veya 4 sembollü bir alfabe üzerindeki kapı kümelerini göz önüne alırsak (örneğin), daha geniş bir olasılıklar kümesi açılır - ve en azından benim bildiğim kadarıyla, bu olasılıklar hiçbir zaman tam olarak çözülemedi. karmaşıklık teorisi açısından (lütfen yanılıyorsam beni düzeltiniz). Olası geçit setlerinin evrensel cebirdeki "klonlar" adı altında yoğun bir şekilde çalışıldığını biliyorum; Keşke bu literatürle daha fazla konuşabilseydim, böylelikle bu alandan elde edilen sonuçların devre karmaşıklığı için ne anlama geldiğini biliyordum.

Her halükarda, ispatlamak için olgunlaşan başka dramatik devre alt sınırlarının olduğu meselesi dışında görünmüyor, eğer sadece geçit kümeleri sınıfını düşünmeye istekli sonlu alfabe üzerinde genişletirsek. Eğer hatalıysam, lütfen nedenini söyle!

(Suresh’in önerdiği gibi yorumlardan taşındı. Yorumdaki bazı hatalar burada düzeltildi.)

Harika bir soru için Scott'a teşekkürler.

Scott, alt sınırların zorluğunun nedeninin Boolen davasında kısıtlı operasyon dili olabileceğini öne sürüyor. Shannon'un çoğu devreyi gösteren sayım argümanı, sayılabilir ifade gücü ile sayılamayan birçok devre arasındaki boşluğa dayanıyor. Alfabede en az 3 sembol olduğunda bu boşluk kayboluyor gibi görünmektedir.

Alfabe boyutu 2 (Boolean durumda) için, klonların kafes sayılabilir şekilde sonsuzdur ve Post'un kafes adı verilir .

Post'un kafesi ayrıca Boolean vakası için neden sadece birkaç ilginç işlem temeli bulunduğunu da açıkça ortaya koyuyor.

Alfabe boyutu 3 veya daha büyükse, klonların kafes sayıları hesaplanamaz. Ayrıca, kafes herhangi bir önemsiz kafes kimliğini karşılamaz, bu nedenle kafesin tam bir tanımını yapmak imkansız görünüyor. Alfabe boyutu 4 veya daha büyükse, klonların kafesleri, aslında her sonlu kafesleri bir alt-kafes olarak içerir. Dolayısıyla, alfabenin 3 veya daha fazla sembolü olduğunda göz önünde bulundurulması gereken çok sayıda ilginç işlem temeli vardır.

• Bulatov, Andrei A., Klon kafeslerinin sağladığı koşullar , Algebra Universalis 46 237–241, 2001. doi: 10.1007 / PL00000340

Scott ayrıca sordu: Eğer sabitleri ücretsiz olarak alabileceğimizi varsa, klonların kafesleri sayılamaz mı?

Cevap öyle, örneğin bakınız

• Gradimir Vojvodić, Jovanka Pantović ve Ratko Tošić, Tek işlevli klon sayısı , NSJOM 27 83–87, 1997. ( PDF )
• J. Pantović, R. Tošić ve G. Vojvodić, Fonksiyonel olarak tamamlanmış cebirlerin üç elemanlı bir sette kardinalliği , Algebra Universalis 38 136-140, 1997. doi: 10.1007 / s000120050042

görünüşe göre bu daha önce yayınlandı:

• Ágoston, I., Demetrovics, J. ve Hannák, L. Tüm sabitleri içeren klonların sayısında , Coll. Matematik. Soc. János Bolyai 43 21-25, 1983.

Güzel bir spesifik ifade:

• A. Bulatov, A. Krokhin, K. Safin ve E. Sukhanov, Klon kafeslerinin yapısı hakkında , İçinde: "Genel Cebir ve Ayrık Matematik", editörler: K. Denecke ve O. Lueders, 27–34. Heldermann Verlag, Berlin, 1995. ( PS )

$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

Sarılmak için, Boolean olmayan klonların devre alt sınırları için kullanılmasıyla ilgili herhangi bir çalışma bilmiyorum. Bu daha derinlemesine araştırmaya değer. Klonların kafesleri hakkında bilinen nispeten az şey göz önüne alındığında, keşfedilmeyi bekleyen işlemlerin ilginç temelleri olabilir.

Klon teorisi ile bilgisayar bilimi arasındaki daha fazla bağlantı, evrensel cebirde çalışan matematikçilerin de büyük ilgisini çekecektir. Peter Jeavons'un cebirlerin kısıtlama dilleriyle ilişkilendirilebileceğini gösterdiği zaman, bu tür bir etkileşimin önceki bir örneği, izlenebilirlik sonuçlarının cebirin özelliklerine çevrilmesine izin verecek şekilde ortaya çıktı. Andrei Bulatov bunu CSP'lerin alan büyüklüğü 3 ile olan ikilemini kanıtlamak için kullandı. Diğer taraftan, bilgisayar bilimi uygulamasının bir sonucu olarak uysal uyum teorisine ilgi uyandı. Klon teorisi ile Boolean olmayan devre karmaşıklığı arasındaki bağlantıdan ne olacağını merak ediyorum.

Suresh'in önerdiği gibi, bu yorumlardan taşındı.

$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

Düzenle. Ayrıca, fonksiyonların çoğunun büyük karmaşıklığa sahip olduğu sayım argümanı kullanılarak gösterilebilir.$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

Düzenleme 2. Asıl engel, bildiğim kadarıyla (hatta alt sınırlar için, bir tanesinin ortadan kaldırılmasını kullanabileceği gibi, doğrusal olmayan alt sınırlar göstermek için doğrusal olmayan alt sınırları kanıtlamak için hiçbir yönteme sahip olmayız.) -linear sınırlar). Doğrusal cebirden bazı yöntemler gibi görünse de, gerçekten yardımcı olmalı. Bu yüzden adaylarla gelmek güzel, ama yine de yeni yöntemlere ihtiyaç var.

1. $\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$$a$en az 's sayısıdır . Herhangi bir devrenin (bu MIN / XOR üzerinden) temeli için hesaplanması için yaklaşık kapı gerektirdiğini gösterir . Ama bu öyleydi! Elbette, aritmetik devrelerin maddeleri dışında benzer bir lehine (daha büyük, fakat yine de sınırlı alanlara gidiyor) başka sonuçların farkında değilim. Ancak sadece devreler için - daha büyük alanlara dallanma programı için daha düşük sınırlama görevi biraz daha kolay hale getirir. $1$$2^n/\sqrt{n}$$f$

2. XOR kapılı devrelerde. Burada derinlik durumu bile geniş ölçüde açık. Açık lineer dönüşümler için en yüksek alt sınır fazla şekline sahip . sabiti için gibi bir bağın derinlikte ve yalnızca XOR kapılarına izin verilse bile kanıtlanması zor bir iştir.$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$