Polinom süresindeki iki permütasyonun toplamını tanımlayabilir misiniz?

29

Orada iki soru ya ilişkin veya aşağıdaki soruya özel bir durum eşdeğer vardı cs.se son zamanlarda sordu:

Eğer bir dizi olduğunu varsayalım $a_1, a_2, \ldots a_n$ ve $n$ sayı olacağı şekilde $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ İki permütasyon, toplamı halinde ayrıştırmak $\pi$ ve bölgesinin böylece, . $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

Bazı gerekli koşullar vardır: eğer $a_i$ öylesine sıralanır olduğunu $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$ o zaman olmalı

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

Ancak, bu koşullar yeterli değil. Cevabını itibaren bu math.se soruya sordum, 5,5,5,9,9,9 iki permütasyon toplamı olarak temin edilememiştir dizisi (tek her iki 1 veya 5 yalnızca can gerçeğini kullanarak görebilirsiniz 4 ile eşleştirilecek).

Öyleyse benim sorum şu: Bu sorunun karmaşıklığı nedir?

— Peter Shor
kaynak

BTW, Aklıma basit bir varyasyon geldi ve karmaşıklığından emin değilim. Polinom zamanında iki noktadan oluşan sabit-serbest serbest toplamı tanımlayabilir misiniz? (Biz iki permütasyon yani her pozisyonda katılmıyorum gerektirir

herkes için

)

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany

20

Hayır, P = NP olmadığı sürece polinom süresindeki iki permütasyonun toplamını tanımlayamazsınız. Sorununuz sorununuzun karar versiyonu NP-tam problemi eşdeğerdir çünkü NP-tamamlandığında hedef özetliyor -sayısal Eşleştirme: $2$

Girdi: sırası pozitif tamsayılar, , için $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

Soru: orada iki permütasyon ve , öyle ki için ? $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

Referansta, NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM) şiddetli bir şekilde kısıtlanmış bir varyantının güçlü bir şekilde NP-tamamlanmış olduğu kanıtlandı.

RN3DM göz önüne alındığında, bir multiset tamsayılar ve bir tamsayıdır şekilde , orada iki permütasyon bulunmadığından, ve , öyle ki $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ İçin, ? $j = 1, . . . , n$

Hedef toplamları sorunu olan RN3DM'den Sayısal Eşleşmeye kolay bir azalma var : Bir RN3DM örneği göz önüne alındığında. Biz yaparak karşılık gelen örneği oluşturmak için $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen ve JK Lenstra. Gecikmeli ve ünite çalışmalarıyla iki makineli bir akış tesisinde tezgah süresini minimize etmek NP zordur . Planlama Dergisi, 7: 333–348, 2004

1 Ekim EDIT : Senin sorunun PERMUTASYON SUMS denir. 1998'den beri Steve Hedetniemi'nin KOMBİNATÖREL OPTİMİZASYONUNDA AÇIK SORUNLAR'da listelenmiştir .

— Muhammed El Türkistan
kaynak

2

Cevap için teşekkürler. Bu soruyu esinlendiren cs.se'deki sorunlardan birini cevapladım (bu, doğrudan referansınız tarafından cevaplanan bir formda değildi), ancak bence cevap verildiğinden bu yana ikinci soruyu cevaplamak için ilk şansınız olmalı. referansta.

— Peter Shor,

Çok teşekkürler Peter. Sana yardım edebildiğime sevindim. Daha iyi bir cevap üreteceğini düşünüyorum. Lütfen devam edin ve bu soruyu da cevaplayın.

— Muhammed El-Türkistan,

Yukarıdaki web sayfasında göründüğü gibi problem ifadesi şöyledir: PERMUTATION SUMS [Cheston, 198X] INSTANCE: Pozitif tamsayıların A dizisi [1..n]. SORU: {1,2, ..., n} pozitif tamsayıların r ve s iki değişkenleri var mı, öyle ki 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— Muhammed El-Türkistan

4

Diğer taraftan Marshall Salonu , iki permütasyon farkını kolayca tanımlamanın mümkün olduğunu gösterdi .

— anonim geyik
kaynak

14

n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

3

@PeterShor Bütünlük için, lütfen iki permütasyon farkını tanımlamanın NP-eksiksizliğinin kanıtı taslağını sunarak yorumunuzu ayrı bir cevap olarak gönderin.

— Muhammed El-Türkistan

3

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ , then

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$ is the multiset

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$ . For example,

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$ cannot be represented as a difference of two permutations because

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$ is not the sum of two permutations.

— Peter Shor