Üstel fonksiyonun karmaşıklığı

Doğal sayılara göre üstel fonksiyonun polinom süresi içinde hesaplanamadığını biliyoruz , çünkü çıktının boyutu girdilerin boyutunda polinom olarak sınırlandırılmamıştır. $\exp(x,y) = x^y$

Üstel fonksiyonu hesaplamanın zorluğunun ana nedeni bu mu, yoksa üstelik bu değerlendirmeden bağımsız olarak hesaplanması zor mu?

Üstel fonksiyonun bit grafiğinin karmaşıklığı nedir?
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— Peter
kaynak

EXP kavramını "L" olarak değiştirdim, çünkü EXP ünlü bir karmaşıklık sınıfının adıydı ve kafa karışıklığına neden olabilir.

— MS Dousti,

Eğer 2'nin bir katı ile sınırlandırılmıştır, daha sonra olan . Üstelik üssünün grafiği düşük karmaşıklığa sahiptir.

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— Kaveh

Sadeq: Karmaşıklık sınıflarından kaçınmak istiyorsanız, L EXP'den daha iyi olamaz ... X'e değiştirildi

— Peter

@Peter: Bağlamda, L kesinlikle Log-space karmaşıklık sınıfından ziyade bir "dil" dir. Neyse, X çok daha iyi bir seçimdir.

— MS Dousti,

@Kaveh: Soru, bunun doğal sayılardaki üstel fonksiyon ile ilgili olduğunu belirtir.

— Tsuyoshi Ito

Yanıtlar:

İşte bazı üst sınırlar.

Tekrarlanan kareler ile sorun PSPACE'tedir.

Biraz daha iyi bir üst sınır var. Sorun BitSLP sorun özel bir durumdur: bir tamsayıdır temsil 0 ve toplama, çıkarma ve çarpma 1'den başlayarak düz bir çizgi programı göz önüne alındığında , N , ve verilen i ∈ℕ, karar i dan inci biti (sayma N'nin ikili gösteriminin en az anlamlı biti) 1'dir. BitSLP problemi sayma hiyerarşisindedir ( CH ) [ABKM09]. ([ABKM09] 'da BitSLP probleminin PH ^{PP ^{PP ^{PP ^PP}}} içinde olduğu gösterilebileceği belirtilmiştir .)

CH üyeliği genellikle sorunun PSPACE'in zor olma ihtimalinin düşük olduğunun bir kanıtı olarak kabul edilir, çünkü CH = PSPACE eşitliği sayım hiyerarşisinin çöktüğünü ima eder. Bununla birlikte, bu kanıtların ne kadar güçlü olarak kabul edildiğini bilmiyorum.

Sertliğe gelince, aynı kağıtta BitSLP'nin # P-hard olduğu gösterilmektedir [ABKM09]. Bununla birlikte, buradaki kanıtın, X dilinde herhangi bir zorluğa işaret ettiği görülmemektedir .

Referanslar

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen ve Peter Bro Miltersen. Sayısal analizin karmaşıklığı üzerine. SIAM Bilişim Dergisi , 38 (5): 1987–2006, Ocak 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— Tsuyoshi Ito
kaynak

Tam bir cevap değil, en azından kısmi bir cevap.

Ben ortaya çıkmış iki cevap kadar bir olduğu gerçeği söz değil fark modüler üstel hesaplanması için bir algoritma burada olduğu cinsinden bit sayısı ve en hızlı çarpma algoritmasına karşılık gelen üs. Dolayısıyla, üstelin daha az anlamlı bitleri verimli bir şekilde hesaplanabilir ( veya daha az). $O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

Bunu yapmanın yolu oldukça basittir: , , . Açıkça , ve böylece orada sadece gibi, ancak terimler bu alır sadece çarpma. $c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$

Dahası, olarak yazabiliriz , bu yüzden kabaca karşılık gelen en önemli bitler de yalnızca hesaplanacak şekilde verimli bir şekilde hesaplanabilir en önemli bitine bağlıdır . $x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

Bu yüzden tek gerçek sorun terimleri merkezine doğru bitlerden kaynaklanmaktadır . $x^y$

— Joe Fitzsimons
kaynak

Bu cevapla benimki arasında ilginç bir ilişki var. Yanılmıyorsam Eğer içinde algoritmasının bir kaba bakış [ABKM09 ] alıntı cevabım daha yüksek bit elde etmek Çinli kalan teoremi ile bu fikri birleştirmektir.

— Tsuyoshi Ito

Ah, bunu farketmemiştim.

— Joe Fitzsimons

[Bu cevap Per Vognsen'in cevabıyla ilgili bazı ilginç hususları açıklar . OP'nin sorusuna doğrudan bir cevap değildir, ancak bu tür soruları çözmede yardımcı olabilir.]

$i$ $\pi$ $i-1$

Ardından, Dick Lipton'ın konuyla ilgili ele almasına bakın: Cook's Class Pi . Makale esasen karar olduğunu açıklar th bit Steve Cook sınıf içindedir ( , polinom zaman ve poli-logaritmik uzay kabul dillerin sınıfını), diye sesleniyor bu gerçeği, tuhaf olağanüstü olduğunu “geleneksel bilgeliğe” karşı. $i$ $\pi$ $\rm SC$

Not: Makalesinin sonunda, Dick algoritmanın gerçekten dışında olabileceğini itiraf ediyor , ancak böyle bir olasılık "pratik kullanımın" ötesinde. $\rm SC$

— MS Dousti
kaynak