Polinom Hirsch varsayımı için bir kombinasyon versiyonu

{1,2,…, n}, alt kümelerinin ayrık ailelerini düşünün . $t$ ${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

Farz et ki

(*)

Her ve her ve , içeren vardır . $i \lt j \lt k$ $R \in {\cal F}_i$ $T \in {\cal F}_k$ $S \in {\cal F}_j$ $R \cap T$

Temel soru şudur:

Ne kadar büyük olamaz ???

Ne biliniyor

En iyi bilinen üst sınır yarı polinom . $t \le n^{\log n+1}$

En iyi bilinen alt sınır (bir logaritmik faktöre kadar) ikinci derecedendir.

Bu soyut ayar Polyhedra'nın Çapı: Friedrich Eisenbrand, Nicolai Hähnle, Sasha Razborov ve Thomas Rothvoss'un Soyutlama Sınırları'ndan alınmıştır . Kuadratik alt sınır ve üst sınırın bir kanıtı makalelerinde bulunabilir.

Motivasyon

Her bir üst sınır, n-yönleri ile d-boyutlu poliptopların grafiğinin çapına uygulanacaktır. Her köşenin bu ortağa görmek için seti bunu içeren yönleriyle. Daha sonra bir tepe başlayarak izin mesafesi politop köşe karşılık gelen kümeler olacak den . $v$ $S_v$ $w$ ${\cal F}_r$ $r+1$ $w$

Daha

Bu problem polymath'ın konusudur3 . Ancak açık bir sorun olmasına rağmen burada ve MO'da sunulmasının yararlı olabileceğini düşündüm . Eğer proje belirli alt problemlere yol açacaksa, I (veya başkaları) da onlara sormayı deneyebilir.

(Güncelleme; 5 Ekim :) Özel ilgi konusu olan özel bir sorun, beden büyüklüğüne olan dikkatin kısıtlanması d. Tüm ailelerdeki tüm kümeler d boyutunda olduğunda f (d, n), t'nin maksimum değeri olsun. D * çok boyutlu kümelerine izin verdiğimizde f * (d, n) t'nin maksimum değeri olsun. F * (3, n) 'nin anlaşılması çok önemli olabilir.

Sorun: f * (3, n) 3n veya 4n gibi davranıyor mu?

$2^{d-1}$

— Gil Kalai
kaynak

Hirsch varsayımı, wikipedia

— vzn

Görünüşe göre bu varsayım, monte edilmiş bir carlo yöntemi kullanarak hesaplamalı / deneysel / deneysel bir yaklaşıma duyarlı ve hatta belki de duyarlı olabilir. Bunu deneyen var mı?

— vzn

Yeni ödül nedeniniz ise “güncel cevaplar güncel değil ve son değişikliklerin gözden geçirilmesini gerektiriyor” gibi görünüyor. Bu 2013 gazetesi Santos'un Polyhedra ve Simplicial Complexes Çapındaki Son Gelişmeler , Hirsch düşüncesinin "şimdi onaylanmadığını" söylüyor.

— vzn

Sevgili vzn, Bu bir şakaydı: Güncel cevaplarla ilgili herhangi bir açıklama, cevap olmadığı için doğrudur.

— Gil Kalai

$t$ $n$ $d$ $3^{2^n}$ $f$ ilk birkaç değerinden. Daha önceki konuların tüm yorumlarını ayrıntılı olarak incelememiş değiliz, bu yüzden bazıları zaten biliniyor olabilir - temelde kodumuzu hızlı bir şekilde yapmaktan zevk aldık ve sonuçta bir yerde yayınlamak istedik, eğer çalışan bir LaTeX ortamım olsaydı Bunu ArXiV'e koy.

Kod (tam olarak üretim kodu değil ...): http://pastebin.com/bSetW8JS . Değerler:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $A \in {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

$\sim$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ . Ardından gelen dinamik programlama algoritması açıktır. Eşdeğerlik sınıflarının sayısı (yukarıdaki iki işlem tarafından harcanan zamanla birlikte) daha sonra açık dinamik programlama algoritmasının çalışma zamanına bir sınır verir.

$A$ $\{ 1, \dots, n \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$ $1 \leq i \leq j \leq n$ $(i, j)$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $B$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $(i, j)$ $j < t - 1$ $A$ $\sim$ $B$ $C \in {\cal F}_t$ $D \in {\cal F}_{t+1}$ $B \cap C \subseteq D$ $3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$ ${1, \dots, i}$ ${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$ ${\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_3$ daha ciddi tasarruflara neden olabilir.

— Alex on Brink
kaynak