N'den fazla kenarı olan üçgensiz, yıldız kesimsiz, daire grafiği var mı?

Çalışmalarım için bu özelliklere sahip bir grafik bulmaya çalışıyorum, ancak ne yazık ki böyle bir grafik bulamıyorum.

Bu grafik olup olmadığını bilen var mı, ya da var olmak neden imkansız?

varsaymak $G$üçgen içermeyen yıldız kesimli bir daire grafiğidir. Göstereceğim$G$ derecesi 2'den fazla olan bir tepe noktası içermez. Bu nedenle, $G$ en fazla $n$ kenarları.

Bir daire temsili düşünün $C$ nın-nin $G$. İkisi geçmezse bir dizi akor paraleldir , ancak tüm akorları geçen bir çizgi vardır.

Mülkiyet 1 :$C$ 3 paralel akoru yoktur.

Kanıt . varsaymak$C$3 paralel akoru vardır. Tepe noktası$v$orta akor karşılık gelen. Sonra,$N[v]$bir kesiktir. Bu özelliği kanıtlıyor.

Çelişki uğruna, $G$ tepe noktası var $v$ Sonra, akor karşılık gelen $v$3 akorla kesişir. Bu 3 akor bir çizgiyle kesiştiği için ya paralel ya da ikisi kesişiyor. Mülkiyet 1 nedeniyle, ikisi kesişir, yani köşeleri bir üçgen oluşturur$v$ile çelişen $G$ üçgen içermez.

Hayır, böyle bir grafik yok. Neden olmasın, üçgen içermeyen bir dizi akor tarafından tanımlanan bir daire grafiğimiz olduğunu varsayalım. İzin Vermek$n$ daire grafiğinin köşe noktası sayısı (veya akor sayısı) ve $m$grafiğin kenar sayısı (iki akorun geçişleri) olmalıdır. Daha sonra akorların sayısında kolay bir indüksiyon, akorların düzeninin tam olarak$m+n+1$karşı karşıyadır. Ancak, en fazla$2n$ daireye dokunan yüzler (bazı yüzler daireye bir kereden fazla dokunduğunda daha az), $m>n$o zaman düzenlemenin en az iki iç yüzü olmalıdır. İzin Vermek$p$düzenlemenin ikili grafiğinde ( kare şeklinde ) böyle bir yüzden diğerine en kısa yol olmalı ve$c$ kenarına çift akor olmak $p$. Sonra yıldız kesti$c$ bir ucunda yüz sınırlayan bazı akorları ayırır $p$ diğer ucunda yüzü sınırlayan akorların bazılarından.