Sonlu VC boyutunda Vuruş kümesinin parametreli karmaşıklığı

D-Boyutlu Vuruş Kümesi problemi olarak adlandırdığım şeyin parametreli karmaşıklığıyla ilgileniyorum: en fazla d ve en fazla VC boyutuna sahip bir aralık alanı (yani bir set sistemi / hipergraf) S = (X, R) pozitif tamsayı k, X, R'deki her aralığa çarpan bir k büyüklüğü alt kümesi içerir mi? Sorunun parametrelenmiş versiyonu k ile parametrelendirilmiştir.

D'nin hangi değerleri için d-Boyutlu Vuruş Kümesi sorunu

• FPT de mi?
• W [1] 'de mi?
• W [1] -Sert?
• W, [2] -Sert?

Bildiğim şey şu şekilde özetlenebilir:

• 1 Boyutlu Vuruş Seti P'de ve bu nedenle FPT'de. Eğer S, boyut 1'e sahipse, o zaman 2 büyüklüğünde bir vuruş setinin olduğunu veya S'nin insidans matrisinin tamamen dengelendiğini göstermek zor değildir. Her iki durumda da polinom süresinde asgari vuruş tespit edebiliriz.

• 4-Boyutlu Vuruş Seti W [1] -hard'dır. Dom, Fellows ve Rosamond [PDF] , R ^ 2'deki eksen paralel dikdörtgenlerin eksen paralel çizgilerle bıçaklanması sorunu nedeniyle W [1] sertliğini kanıtladı. Bu, VC-boyut 4'ün bir aralığında Vurma Seti olarak formüle edilebilir.

• D üzerine herhangi bir kısıtlama getirilmezse, W [2] -complete ve NP-complete olan standart Vuruş Seti problemimiz vardır.

• Langerman ve Morin [citeseer link] Sınırlı boyutta Set Cover için FPT algoritmaları verir, ancak sınırlı boyutluluk modelleri, sınırlı VC-boyutuyla tanımlanan modelle aynı değildir. Modelleri, örneğin, yarı boşluklara noktalarla vurma problemini içermiyor gibi gözükse de, modellerinin prototip problemi, noktalara sahip hiper planlara çarpma ile aynıdır.

Bence bu problem çok zor. Bu ailede daha kolay olan sorunların cevabını bilmiyoruz. Örneğin, düzlemde bir n nokta ve bir (n) birim disk seti göz önüne alındığında, noktaların birim disklerin k tarafından bir kapağının olup olmadığına karar veriniz. Bunun için kolay bir n ^ O (k) zaman algoritması var, ve eğer bir n ^ O (sqrt {k}) yapabileceği bilinen bir içgüdü kullanarak (ancak bu açıkça görülmüyorsa) f (f) yapmasını şaşırmam k) * n ^ {O (1)} açık, ve aslında oldukça ilginç olurdu. A (1 + eps) yaklaşımı, http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367 Mustafa ve Ray'in çalışmalarından kaynaklanmaktadır .

BTW, herhangi bir birim diske izin verilen sürekli sürüm için, bir n problemi çözebilir. Bu durumda bir PTAS, kaydırılmış ızgaraları kullanmak da oldukça kolaydır.

Bu soruyu yeni bir ön baskıda ele alıyoruz: http://arxiv.org/abs/1512.00481

Vuruş Düşük VC boyutundaki hipergrafide Vuruş Seti (Karl Bringmann, László Kozma, Shay Moran, NS Narayanaswamy).

VC boyutu 2'ye eşit olduğunda, Vuruş Setinin W [1] -hard olduğu ortaya çıktı.

Dániel Marx makalesi: Geometrik Problemler için Etkili Yaklaşım Şemaları . ESA 2005: 448-459 oldukça ilgilidir.