Pozitif topolojik sıralama, 3 al

Farzedin ki bir n x n matrisimiz var. Üst üçgen şeklindeki bir matris elde edeceğimiz için satırlarını ve sütunlarını yeniden sıralamak mümkün müdür?

Bu soru bu sorundan kaynaklanıyor: Pozitif topolojik sıralama

Orijinal karar sorunu en az bu kadar zor, bu yüzden bir NP tamlık sonucu da bunu çözecektir.

Edit: Laszlo Vegh ve Andras Frank dikkatimi Gunter Rote tarafından sorulan eşdeğer bir soruna çağırdı: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

Düzenleme: Orijinal sorunun azaltılması aşağıdaki gibidir. DAG'ın sadece iki seviyeye sahip olduğunu varsayalım, bunlar matrisin satırlarına ve sütunlarına karşılık gelecektir. Ayrıca, +1 ağırlığa sahip tek bir düğümümüz var. Alt seviyedeki herkes -1 ağırlığında ve üst +1 seviyesindedir.

Sorun NP-tam olarak ortaya çıktı. Burada ve burada daha ayrıntılı olarak okuyabilirsiniz . Kısa özet:

Bir sorun, Dasgupta, Jiang, Kannan, Li ve Sweedyk tarafından NP-tamamlanmış olarak gösterildi: iki taraflı bir grafik G ve bir tamsayı k verildiğinde, G'nin 2k düğümlerde, benzersiz şekilde eşleşmek. Stéphane Vialette tarafından her iki sınıfa da nk izole edilmiş düğümler eklersek, bu sorunun iki taraflı benzersiz eşleme versiyonuna indirgendiği gözlenmiştir.

Dikkat: Bu varsayım ve kulaktan kulağa dayalı kısmi bir cevaptır! David Eppstein'ın daha genel problemi NP-tamamlanmışken, belki de bu P'dir.

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• 2 mükemmel eşleşme içermemelidir,
• $\le (1, 2, ..., n)$

Şimdiye kadar, bir grafiğin bu koşulları karşıladığı, ancak UPMX olamadığı herhangi bir örnek bulamadım. Bu durumda, belki yeterlidir. Bunu aşağıdaki algoritma ile kanıtlayabilirsiniz:

1. grafikte> 1 mükemmel eşleşme varsa "UPMX değil" döndür
2. grafik derece koşulunu geçemezse, "UPMX değil" döndür
3. grafikte = 1 mükemmel eşleşme varsa "UPMX" döndür
4. Aksi takdirde, belki UPMX olduğunu gösterebiliriz. Belki de aşağıdaki algoritma bunu ispatlayabilir:
   • $\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • eklenmesi mükemmel bir eşleşme oluşturmayan ve derece koşulunu ihlal etmeyen yeni bir kenar e bulun; grafiğe e ekle
5. $\tbinom{n+1}{2} - 1$

Hall teoremini kullanarak hangi yeni kenarların mükemmel bir eşleşme oluşturacağını belirtebilirsiniz ve hangi yeni kenarların derece derecesini ihlal edeceğini tanımlamak zor değildir. Ne yazık ki, doğru tipte bir kenarın her zaman var olduğu doğru olsa bile, bunu kanıtlayamadım.

Bu kağıt, bağımsız satır sütunlu permütasyon bir üçgen matris elde edilmesi bir sorun ikili kare matrisler için NP-tam olduğunu fertin, Rusu ve Vialette, gösterir.

Sorun NP-tamamlanmış ancak çözecek algoritma nerede? Birçok örnek üzerinde çalışan bir algoritmam var, ama her zaman çalışacağını gösteremiyorum.