0-1 programlama için kesin üstel zaman algoritmaları

Naif algoritmayı yenen aşağıdaki sorun için bilinen algoritmalar var mı?

Girdi: bir sistem olup ve m eşitsizlikler lineer.$Ax \le b$$m$

Çıkış: bir olası çözüm eğer varsa.$x^*\in \{0,1 \}^n$

ve b'nin tamsayı girişleri olduğunu varsayın . En kötü sınırlarla ilgileniyorum.$A$$b$

Eğer superlinear olduğu böyle bir algoritma birleşik normal formda formüller 0-1 programlamanın özel bir durumudur ve seyreltme Lemma çünkü bize azaltmasını sağlar, Güçlü Üstel Zaman Hipotezi çürütmek istiyorum k doğrusal birçok maddeler üzerinde CNF-SAT -SAT .$m$$k$

Bununla birlikte, tel sayısı, yani A'daki sıfır olmayan katsayıların sayısı doğrusal ise, böyle bir eşitsizlik sistemini çözebilen Impagliazzo, Paturi ve kendime bağlı bir algoritma vardır . Özellikle, tel sayısı c n ise, algoritma 2 ( 1 - s ) n süresinde çalışır , burada s = 1$A$$cn$$2^{(1-s)n}$ .$s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

Eğer küçük yeterlidir, sen yani naif algoritması daha iyi daha iyi yapabileceği 2 n zaman. Burada "yeterince küçük", m'nin n / lg n gibi bir şeyden daha küçük olduğu anlamına gelir . Çalışma süresi hala üstel olacaktır - örneğin, 2 n / 2 zaman olabilir - ancak saf algoritmadan daha hızlı olacaktır.$m$$2^n$$m$$n/\lg n$$2^{n/2}$

Bu arada, A matrisinin süper lineer sayıda girişe sahip olduğu bazı durumlarda sorunu daha hızlı bir şekilde çözmemize izin veriyor gibi görünüyor . Bunu burada verilen diğer cevapla nasıl kare yapacağımı bilmiyorum. Sonuç olarak, cevabımı dikkatlice kontrol etmelisiniz: bir yerlerde ciddi bir hata yaptığımı gösterebilir.$2^n$$A$

---

Temel yaklaşım: yazma , x 0 ilk tutan , n / 2 bileşenlerini x ve x 1 son tutan N / 2 bileşeni; ve benzer bir = ( A 0 , A 1 ) , bir 0 sol sahiptir , n / 2 sütun A ve A 1 sağ $x=(x_0,x_1)$$x_0$$n/2$$x$$x_1$$n/2$$A=(A_0,A_1)$$A_0$$n/2$$A$$A_1$ sütun. Şimdi A x ≤ b şeklinde yeniden yazılabilir$n/2$$Ax \le b$

$$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$$

Veya eşdeğer olarak,

$$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$$

A 0 x 0 için olasılığının tümünü numaralandırın ve S , olası değerler kümesini gösterelim, yani,$2^{n/2}$$A_0 x_0$$S$

$$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$$

Benzer şekilde, tüm 2 setinin sayısını$T$ için olanaklarb- A 1 x 1 , yani,$2^{n/2}$$b - A_1 x_1$

$$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$$

Şimdi sorun

Verilen setler 2 beden n /$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$$2^{n/2}$ , orada mevcut mu ve T ∈ T bu şekilde ler ≤ t ?$s\in S$$t \in T$$s\le t$

(Burada , noktasal alınır yani biz gerektirmektedir s ı ≤ t i herkes için i .)$\le$$s_i \le t_i$$i$

İkinci sorun CS.StackExchange üzerinde tartışılmıştır ve görünüşe göre zamanında çalışan bir algoritma vardır . Eğer$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ (daha küçük, diyelim ki yeterince küçüktür n / lg n ), daha sonra toplam çalışma süresi daha az olacağı, aşağıdaki 2 n arzu edildiği gibi.$m$$n/\lg n$$2^n$

---

Bu sonucun daha akla yatkın olmasına yardımcı olmak için işte çok kaba bir sezgi. olan aşırı durumu ele alırsak , elbette bu hızlı bir şekilde çözülebilir. (Aslında m = 1 için özel durum için çok daha basit bir algoritma vardır : A 1 , i ≤ 0 ise x i = 1 olsun$m=1$$m=1$$x_i=1$$A_{1,i}\le 0$ , aksi takdirde ; ; şimdi herhangi bir uygulanabilir çözüm varsa, o zaman bu x bir olacaktır.)$x_i=0$$x$