Toplamı iki sayı seçin

İşte en yakın komşu sorunu.

Verilen gerçekler $a_1, \ldots, a_n$ (çok büyük $n$!), artı gerçek hedef $p$, bul $a_i$ ve $a_j$ SUM'a en yakın olan $p$. Makul ön işleme / indekslemeye izin veriyoruz$a_1, \ldots, a_n$ (en fazla $O(n \log n)$), ancak sorgu zamanında (verilen $p$), sonuç çok hızlı bir şekilde döndürülmelidir (ör. $O(\log n)$ süresi).

(Daha basit örnek: yalnızca TEKLİ isteseydik $a_i$ bu en yakın $p$, sıralardık $a_1, \ldots, a_n$ çevrimdışı $O(n \log n)$, ardından sorgu zamanında ikili arama yapın, $O(\log n)$).

Çalışmayan çözümler:

1) Sırala $a_1, \ldots, a_n$çevrimdışı, ardından sorgu zamanında her iki uçtan başlayın ve iki işaretçi içe doğru hareket ettirin ( http://bit.ly/1eKHHDy ). İyi değil, çünkü$O(n)$ sorgu süresi.

2) Sırala $a_1, \ldots, a_n$ çevrimdışı, ardından sorgu zamanında her birini alın $a_i$ ve yakınlardaki bir şeyi toplamasına yardımcı olan bir "arkadaş" için ikili arama gerçekleştirin $p$. İyi değil, çünkü$O(n \log n)$ sorgu süresi.

3) Tüm çiftleri sırala $(a_{1}, \ldots, a_{n})$sonra da ikili arama yapın. İyi değil, çünkü$O(n^2)$ ön-işlem.

Teşekkürler!

ps. Uygulama için gerekli diğer genellemeler: (1)$a_1, \ldots, a_n$ ve $p$ 50 boyutlu vektörler olmak, (2) vektör kosinüs mesafesi olmak "kapatmak" ve (3) $k$-en iyi yakın çift-bu-toplam, sadece 1-en iyi.

Bu neredeyse imkansız.

Önişleme süresi ile sorununuzu çözebileceğinizi varsayalım $P(n)$ ve sorgu süresi $Q(n)$. Sonra 3SUM problemini çözmek için basit bir algoritma var - bir dizi$n$ gerçek sayılar, herhangi bir üç eleman sıfıra eşit midir? $P(n)+n\cdot Q(n)$saati. Tüm sayıları önceden işleriz, sonra her sayı için$a_k$, değerini buluyoruz $a_i+a_j$ bu en yakın $-a_k$; eğer eşleşirse$-a_k$ tam olarak, 3SUM problemine bir çözüm bulduk.

Ancak, 3SUM için bilinen en hızlı algoritma $O(n^2)$zaman ve bu algoritma yaygın olarak en iyi şekilde tahmin edilmektedir. Dahası, bir eşleşme var$\Omega(n^2)$sınırlı ama doğal bir karar ağacı hesaplama modelinde alt sınır. Tamsayılar kümesi için, "bitlerle oyun oynayan" biraz subadratratik zaman algoritmaları vardır, ancak tamsayı RAM modelinde bile 3SUM,$\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$ saati.

Dolayısıyla varsayımın doğru olduğunu varsayarsak, probleminiz ya (neredeyse) ikinci dereceden ön işleme süresi ya da (neredeyse) doğrusal sorgu süresi gerektirir.

Ön işleme sırasında sınırsız alan ve sınırsız süre kullanabiliyorsanız, aşağıdaki çözüm gereksinimlerinizi karşılar:

• Ön işleme sırasında seti hesaplayın $\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$ve bu seti sıralı olarak saklayın. Bu set oluşturulabilir ve$O(n^2)$ zaman, ve alır $O(n^2)$ saklamak için alan.

• Şimdi bir sorguyu yanıtlamak için ( $a_i,a_j$ nerede $a_i+a_j$ kadar yakın $p$olabildiğince), bu sıralı listede ikili bir arama yapın. Alacak$O(\lg n)$ saati.

Bu çözüm kabul edilebilir değilse, gereksinimlerinizi daha dikkatli düşünmeniz ve soruyu buna göre düzenlemeniz gerekir.