Düşük dereceli rastgele fonksiyonlar gerçek bir polinom olarak

Düzgün rastgele bir boolean işlevini örneklemenin (makul) bir yolu var , gerçek bir polinom derecesi en fazla ? $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $d$

EDIT: Nisan ve Szegedy , dereceli bir fonksiyonun en fazla koordinatlarına bağlı olduğunu göstermiştir, bu nedenle . Gördüğüm gibi sorunlar şunlardır: 1) Bir yandan, koordinatlarında rastgele bir boolean işlevi , derecesi , den çok daha yüksek olacaktır . 2) Öte yandan, her derece katsayısını en fazla rasgele seçersek, işlev boolean olmaz. $d$ $d2^d$ $n \leq d2^d$ $d2^d$ $d2^d$ $d$ $d$

Yani soru şudur: Bu iki sorunu önleyen düşük dereceli bir boolean fonksiyonunu örneklemenin bir yolu var mı?

randomness boolean-functions bounded-degree

— Igor Shinkar
kaynak

Eğer gerçek işlevi derece gerçek bir polinomun kısıtlama olmak ister misiniz 0-1 girişlerine, ya da bunu böyle olmak istiyorsun ancak ve ancak bazı gerçek polinom için ait en fazla ? Veya başka bir şey?

d

$d$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

p (x) > 0

$p(x) > 0$

p

$p$

d

$d$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Fourier genişlemesinin derecesi olan bir işlev istiyorum . Bu senin ilk seçeneğin.

d

$d$

— Igor Shinkar

Modelin nedir? Örneklenen fonksiyonun yazılması

2^{n}

$2^n$ zaman alır veya Fourier genişlemesini çıkarmak istiyorsanız

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$ olur. Is

d

$d$ sabit bir sabit?

— MCH

Bu soruya biraz daha detay ekledim.

— Igor Shinkar

@MCH Eğer derecesi ise bir fonksiyonu

d

$d$ (seviye üzerinde sıfır ağırlığı

d

$d$ ), daha sonra daha fazla bağlı olamaz

d 2^{d}

$d2^d$ koordinatları. Bu Nisan ve Szegedy'den kaynaklanıyor.

özel durumunu düşünün

d = 1

$d=1$ . Bu durumda, işlevin (en fazla) 1 koordinatına bağlı olduğunu biliyoruz.

— Igor Shinkar

İşte önemsiz girişimleri yenen bir algoritma.

Aşağıdaki (O'Donnell kitabında Egzersiz 1.12) bilinen bir gerçeği var: Eğer $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ derecesi olan bir Boole fonksiyonudur $\le d$ bir polinom sonra her Fourier katsayısı olarak ve $f$ , arasında bir tamsayı katı olan . Cauchy-Schwarz ve Parseval'i kullanmak en fazla sıfır Fourier katsayısı ve $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$ .

Bu bir örnekleme yöntemi önerir -

Rasgele olmayan negatif tamsayıyı seçin $a_S$ bütün serileri için $S\subseteq[n]$ en boyutunun $d$ , toplam kadar $\le 4^d$ .
Let $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$ .
Doğrulayın $f$ Boole olduğunu. Eğer öyleyse, $f$ . Başka, $1$ geri dön .

Her derece için geldiğini hatırlatırız $\le d$ polinom $f$ tam Adım 1'deki rasgele tamsayılar biri tercihi polinom üretecektir $f$ . Belirli bir derecede yakalanma ihtimali $\le d$ polinom Bu nedenle, durmadan önce bu işlemi en çok kez tekrarlamalıyız.

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$

Adım 3'ün nasıl gerçekleştirileceğini göstermek için kalır. Kişi tanımlayabilir . Kontrol et (her Boolean işlevi için Nisan-Szegedy tarafından tutulması gerekir) ve ardından değişkenindeki tüm olası atamaları olarak değerlendirin . Bu, zamanında yapılabilir . Gur ve Tamuz bu görev için çok daha hızlı bir randomize algoritma sunuyor, ancak bu kısım zaman karmaşıklığına hakim olmadığından, bu yeterli. $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ $|A| \le d 2^d$ $f$ $A$ $2^{d 2^d}$

Genel algoritma, bir derece rasgele örnek üretir polinom zamanda . nin zaman karmaşıklığının olduğu varsayımı altında . $\le d$ $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ $n \le d2^d$ $2^{O(d^2 4^d)}$

Bu çok daha hızlı bir tamamen rastgele işlev örnekleme rağmen, bu algoritma örnekleme bir polinom zaman değil (bu durumda, belirli bir derecede yakalanma ihtimali polinom ). $\le d$ $1/2^{2^n}$

— Avishay Tal
kaynak

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$