Sınırlı kardinalite sınırlı frekans ayarlı kapak: yaklaşıklık sertliği

Minimum set kapağı problemini aşağıdaki kısıtlamalarla düşünün : her set en fazla $k$ elementi içerir ve evrenin her elementi en fazla $f$ setinde oluşur .

• Örnek: $k = 4$ ve $f = 2$ durumu, maksimum derece 4 olan grafiklerde minimum köşe örtüsü sorununa eşittir.

Let $a(k,f) > 1$ bir bulgu böyle büyük değer $a(k,f)$ parametreleri ile asgari seti kapak sorununun -approximation $k$ ve $f$ NP-zor.

• Örnek: $a(4,2) \ge 1.0128$ ( Berman ve Karpinski'nin 1999 ).

Soru: Üzerinde en güçlü bilinen alt sınır özetleyen bir başvuru var mı $a(k,f)$ ? Özellikle, hem bu durumda somut değerlerle ilgilenen kulüpler $k$ ve $f$ küçük ama olan $f > 2$ .

Ayarlanan kapak sorununun sınırlı sürümleri, genellikle azaltma işlemlerinde uygundur; tipik olarak $k$ ve değerlerini seçme konusunda bazı özgürlükler vardır $f$ve daha fazla bilgi $a(k,f)$, en sert sertlik sonuçlarını sağlayan doğru değerleri seçmeye yardımcı olacaktır. Buradaki , buradaki ve buradaki referanslar bir başlangıç ​​noktası sağlar, ancak bilgiler biraz eskimiş ve parçalara ayrılmıştır. Daha eksiksiz ve güncel bir kaynak olup olmadığını merak ediyordum.

Daha yaygın parametre notasyonu kullanarak yerine ( k , f ) , bunda Vertex Kapak problemi eşdeğerdir (ve daha yaygın olarak bilinen düşünüyorum) k azami derecede ait -uniform hypergraphs Ô . Ben kullanıyorum edebiyatla tutarlılık için, vurgulamak için k kullandığınız f ve Ô kullandığınız k .$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

Herhangi sabiti için , görmezden sonuçları Í dahil$\varepsilon > 0$$\Delta$

• genel ayarlanan kapaktan Δ { a ( Δ , k ) } ≤ k sup .$\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• (Dinur vd., 2004), Lev.$\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$
• Benzersiz oyun varsayım doğru ise, o zaman , sıkı (Khot & Regev, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

Yok sayılması ,$k$

• (önemsiz).$\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$
• (Holmerin, 2002)$\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$

İki parametreyi birleştirdiğinin bildiğim tek sonuç

• sabit içinkveyakile yavaş yavaş büyüyenΔ(Halperin, 2002)$a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$$k$$k$$\Delta$

Bu problemle (Zayıf) Bağımsız Küme problemi arasında bir bağlantı var, fakat bunların yaklaşıklık açısından nasıl ilişkili olduklarından tam olarak emin değilim. Bunu araştırmanızı tavsiye ederim, belki buradan başlayarak: [PDF] .

James King'in cevabı olduğu gibi kullanarak, notasyonu içinde köşe kapağının mümkün olan en iyi polinom zaman yakınlaştırılması için k en fazla derece -uniform hypergraphs Ô , biz de var$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1) $a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

küme örtme için yaklaşım algoritmasından: en derece hypergraphs vertex kapağı en boyutunun setleri ile grubu kapak sorunla aynıdır Ô Algoritma en yaklaşım oranına sahip olan, H Ô , H , n = 1 + 1 / 2 + ... 1 / n ≤ ln n + O ( 1 ) harmonik fonksiyondur.$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

In Bu yazıda bunu gösteriyor

(2) $\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

olmadığı sürece , parametreleri Feige azaltmada değiştirerek.$P=NP$

Sadece zaten bulamadıysanız; Sınırlı dereceli Vertex Cover için en son sertlik sonucu, son araştırmalarda buldum , örneğin kübik grafiklerde 1.01-sertlik olan Chlebik ve Chlebikova .

Bu, sorunuzu tam olarak cevaplamıyor, ancak belki de yardımcı olabilir - bir makale var [Dinur et al. 2004] f> 2'yi kapsamaktadır (ancak k düzeltilmemiştir).