Çöküşü mi

Polinom hiyerarşisinin her seviyesi arasında, $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ ve dahil olmak üzere çeşitli karmaşıklık sınıfları bulunmaktadır $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ . Daha iyi terminoloji eksikliği nedeniyle, bunlardan ve diğerlerinden polinom hiyerarşisinde ve seviyeleri arasında ara sınıflar olarak bahsedeceğim . Bu sorunun amaçları için, bunların yer alan sınıflar olduğunu varsayalım. $i$ $i+1$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ ancak $\Sigma_i^\text{P}$ ve / veya $\Pi_i^\text{P}$ . Mümkünse dahil etmekten kaçınmak isteriz $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ , çünkü düzeyine çökerse önemsiz bir şekilde eşdeğerdir . $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

Ayrıca, aşağıdakileri tanımlayın:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

Yukarıdaki sınıfının bir genellemedir $\text{DP}$ (aynı zamanda yazılı $\text{D}^\text{P}$ ). Bu tanımda $\text{DP}$ , eşdeğerdir $\text{DP}_1$ . Başka bir cstheory.se sorusunda düşünülür . Görmek kolay olduğunu $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ ve hem de içerir $\Sigma_i^\text{P}$ ve $\Pi_i^\text{P}$ .

Referans Şeması:

PH diyagramı

Soru:
polinom hiyerarşisi üzere çöktüğü bir varsayalım düzeyine, ama etmez olmayan şekilde içine çökmesi seviyesi. Yani, ve . ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

Bu ara sınıfların kendileri ve altındaki herhangi bir düzeydeki diğerleri arasındaki ilişkiler hakkında daha fazla bir şey söyleyebilir miyiz ? Karmaşıklık sınıflarının bir koleksiyonu için, her toplama için, sınıfların yalnızca keyfi olarak seçilen bir seviyeye çökmesi durumunda eşdeğer olduğu bir şema var mı ? $i+1$ $\text{PH}$

Sadece bir izleyen olarak, hiyerarşi (örneğin bu ara sınıfların herhangi bir birine çöktü varsayalım ). Seçilen sınıfa bağlı olarak, bu çöküşün aşağıya, belki de düzeyine kadar devam edip etmeyeceğini biliyor muyuz ? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

Yukarıdaki soru Hemaspaandra ve arkadaşları tarafından bir makalede kısmen araştırılmış ve cevaplanmıştır. al:
Polinom Hiyerarşisinde Aşağıya Çöküş
Birisi bu makalede bahsedilmeyen ek örnekleri biliyor mu ya da bir sınıfın bunu başarması için neler olması gerektiği konusunda daha fazla sezgiye sahip mi?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
kaynak

İyi bir cevabım yok, ancak karmaşıklık ruhuyla, iyi bir cevabın gelmesinin zor olabileceğini gösteren bazı cevaplarım var :).

$\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
$\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-Ko o seviyelerini ayıran ettiği kehanet alma verir belirtildiğinden . Bu iki hiyerarşi birbiriyle iç içe geçtiği için, bu size seviyeleri arasındaki sorunların göreli olarak çöküşleri hakkında en azından bazı bilgiler verir . $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
Bu sonraki referans yanlış yöndedir, ancak sonuç ve tekniklerle de ilgilenebilirsiniz. Chang ve Kadin , Boole hiyerarşisinin (tamamen ikinci seviyesinin altında , ancak yi bütün bir hiyerarşiye genişletirse ) seviyesine çöktüğünde çöktüğünü gösterdi için üzerinde Boole hiyerarşinin ıncı seviyeye . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— Joshua Grochow
kaynak

Gerekir olmak

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— T ....

üzgünüm ama doğru mu? Örneğin:

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— T ....