Kaymış maksimum değeri bulmak için doğrusal zaman algoritması

Negatif olmayan tamsayılar içeren bir dizi verildiğini varsayın (mutlaka farklı değildir). $A[1..n]$

Let olmak artmayacak sırasına göre sıralanır. değerini hesaplamak istiyoruz $B$ $A$

m = max_{i \in [n]} B [i] + i .

$m = \max_{i\in [n]} B[i]+i.$

Açık çözüm sıralamak $A$ ve sonra hesaplamaktır $m$ . Bu, en kötü durumda zamanında çalışan bir algoritma verir $O(n \lg n)$ .

Daha iyisini yapmak mümkün mü? Biz hesaplayabilir $m$ doğrusal zamanda?

Benim asıl sorum yukarıdaki soru. Ancak sorunun aşağıdaki genelleştirilmesi hakkında bilmek ilginç olacaktır.

Let $B$ olmak $A$ bazı karşılaştırma torpil göre düzenlenmiş $\leq$ ve $f$ bir oracle tarafından verilen bir fonksiyonu. ve için $A$ ve oracles verildiğinde hesaplamak için gereken süre hakkında ne söyleyebiliriz ? $\leq$ $f$ $m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$

Hala işlem olabilir $m$ de $O(n \lg n)$ süresi. Fakat bu genelleştirilmiş durum için süper doğrusal bir alt sınır olduğunu kanıtlayabilir miyiz?

Eğer cevap evet ise, alt sınır tamsayılarda olağan sıra olduğunu ve "güzel" bir fonksiyon (monoton, polinom, doğrusal, vb.) varsayar mı? $\leq$ $f$

— Kaveh
kaynak

Yanıtlar:

Biz hesaplayabilir doğrusal zamanda. $m$

Basitlik açısından, dizilerin 0 tabanlı olduğunu varsayalım: , . hesaplamak istiyoruz . $A[0..n-1]$ $B[0..n-1]$ $m = \max_i B[i]+i$

Let . Açıkçası . $max = \max_i A[i]$ $max \leq m$

Let olduğu sıraladıktan sonra. Eğer Elimizdeki $A[j]$ $B[k]$ $A[j] \leq max - n$

B [k] + k \leq B [k] + (n - 1) = A [j] + (n - 1) \leq (m a x - n) + (n - 1) = m a x - 1 < m a x \leq m .

$B[k] + k \leq B[k] + (n-1) = A[j] + (n-1) \leq (max-n) + (n-1) = max-1 < max \leq m.$

Bu nedenle göz ardı edilebilir olduğunda . Yalnızca aralığındaki sayıları dikkate almamız gerekir . $A[j]$ $A[j] \leq max - n$ $[max-n, max]$

Biz sıralamak için sıralama sayma kullanabilir aralığında olan doğrusal zamanında ve bilgi işlem için sıralı bir listesini kullanmak . $A$ $[max-n, max]$ $m$

— Marzio De Biasi
kaynak

... aaa ... ama C [x] = C [x] +1 maliyeti nedir?!?

— Marzio De Biasi

[M - n, M]

$[M-n, M]$

| f (B [i], i) - B [i] | = O (n)

$|f(B[i], i) - B[i]| = O(n)$

i

$i$

Teşekkürler @Marzio. :) Açıklık için cevabınızı biraz düzenledim. Düzenlememi geri almaktan veya daha fazla düzenlemekten çekinmeyin.

— Kaveh

f (x, i)

$f(x,i)$

x

$x$

i \leq n

$i\leq n$

| f (x, i) - x | = O (n)

$|f(x,i)-x| = O(n)$

@Kaveh: edit is ok! Cevabı hızlı bir şekilde yazdım ve doğruluğundan bile emin değildim: -S

— Marzio De Biasi

-1

$A$ $m = \max(A) + 1$ $B$ $1$

$f(B[i],j)$ $i = j$ $f(B[i],i)$ $i$ $\max_i f(B[i],i)$ $A$ $\Omega(n\log n)$ $A[i] = B[j]$ $f(A[i],j)$ $f$

— Yuval Filmus
kaynak

A'nın n - 1 sıfır ve bir tane varsa ne olur? O zaman cevap n değil, 1 değil.

— Grigory Yaroslavtsev

A

$A$

A

$A$

B

$B$

f

$f$

o (n \lg n)

$o(n\lg n)$

f

$f$

(B [i], i)

$(B[i],i)$

f

$f$