Sınırlı Üçgenlik Grafiklerinde r-Dominating Set için Kesin Algoritmalar

14

Bir grafik verildiğinde, , için optimal bir hakimiyeti bulmak istiyorum . Yani, bir alt istiyorum olan ve olarak bütün çıkıntılar şekilde en çok bir mesafede olan bazı tepe noktasından boyutunu en aza indirirken, . $G = (V, E)$ $r$ $G$ $S$ $V$ $G$ $r$ $S$ $S$

Şimdiye kadar kontrol ettiklerimden, aşağıdakileri aldım: Bir grafikte merkezini bulma ile ilgili bir sorun var, böylece grafikteki tüm köşeler olacak şekilde en çok boyutunda bir alt küme . atmost bir mesafede bazı tepe noktasından (burada her iki ve için giriş parçaları olan), Demaine ve diğ . düzlemsel grafikler için bir FPT algoritmasına sahiptir. Aksi takdirde sorun için -hard . $(k,r)$ $S$ $k$ $r$ $S$ $|S| \leq k$ $r$ $W[2]$ $r = 1$

Sınırlı ağaç genişliği grafikleri ve hatta sadece ağaçlar için hakimiyeti sorununun karmaşıklığı hakkında bilinen bir şey var mı ? ( hakimiyeti MSO tanımlanabilir mi? Olağan belirleyici küme problemi MSO tanımlanabilir - bu da problem için doğrusal bir zaman algoritması olduğu sonucuna varmak için Courcelle teoremini kullanmasına izin verir). Bu sorunla ilgili bilinen herhangi bir koşullu sertlik sonucu var mı? $r$ $r$ $k$

— Nikhil
kaynak

5

Optimal bir

için -domination

için optimum bir hakimiyeti

güç inci

tersi ve yardımcısı. Dolayısıyla,

hakimiyeti problemi ağaçlar için polinom zamanında ve daha genel olarak sınırlı ağaç genişliği grafikleri için çözülebilir.

r

$r$

G

$G$

r

$r$

G^{r}

$G^r$

r

$r$

— vb le

3

@vble Sanırım

düzeltildi. Peki

hakimiyeti sorunu sınırlı ağaç genişliği grafikleri için neden çözülebilir? bu grafiklerin gücü sınırsız ağaç genişliğine sahiptir.

r

$r$

r

$r$

— Peng O

6

Evet,

sabit, teşekkürler. Evet,

sınırsız ağaç genişliğine sahiptir ancak sınır genişliği (Gurski ve Wanke nedeniyle) sınırlıdır ve genel hakimiyet problemi MSO tarafından tanımlanabilir.

r

$r$

G^{r}

$G^r$

— vb le

@vble Teşekkürler! Referans verebilir ve yorumunuzu cevaplayabilir misiniz?

— Nikhil

@ Nikhil: bitti.

— vb le

15

$r$ $G$ $r$ $G^r$ $G^r$ $G$ $r$

$r$ $r$

$G^r$ $2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$ $\text{tw}(G)$ $G$ $r$ $r$ $r$ $r$

— vb le
kaynak

9

$k$

$O(r^k)$ $r$ $r$ $r$

— Martin Vatshelle
kaynak

r^{k}

$r^k$

r^{O (k)}

$r^{O(k)}$

9

Dawar ve Kreutzer , problemin düzlemsel grafikler, sınırlı (yerel) ağaç genişlikli grafikler ve (yerel olarak) hariç tutulan küçükleri olan tüm sınıfları içeren yoğun grafik sınıflarında sabit parametreli izlenebilir olduğunu göstermiştir.

Dvorak , düzlemsel grafikler, sınırlı ağaç genişlikli grafikler ve hariç tutulan küçükleri olan tüm sınıfları içeren sınırlı genişleme sınıfları için bir polinom zaman sabiti faktörü yaklaşımı olduğunu göstermiştir.

— Sebastian Siebertz
kaynak

5

$G$ $r$ $G$ $w$ $r$ $G$ $O((2r+1)^wn)$ $O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$ $\epsilon > 0$

— Daniello
kaynak

2

Bir ağaç için en uygun r-hakimiyetini hesaplamak için doğrusal bir ardışık algoritma Slater'den kaynaklanır:

P. Slater. Grafiklerde R-hakimiyeti. ACM, 23 (3): 446–450, Temmuz 1976. doi: 10.1145 / 321958.321964

Aynı ayar için dağıtılmış bir algoritma Turau ve Köhler'den kaynaklanmaktadır:

Turau ve Sven Köhler Karşılaştırması. Ağaçlarda Minimum Mesafe-k Hakimiyeti için Dağıtılmış Algoritma. Grafik Algoritma ve Uygulamalar Dergisi, 19 (1): 223-242,5 (bkz http://jgaa.info/getPaper?id=354 )

— Volker Turau
kaynak