Negatif olmayan tamsayılarda doğrusal diofantin denklemi

Negatif olmayan tamsayılarda lineer diofantin denklemini çözmede NP-tam problemi hakkında bulabileceğim çok az bilgi var. Yani, negatif olmayan denklemine bir çözüm var mı, burada tüm sabitler pozitif mi? Bu sorunun bildiğim tek kayda değer sözü Schrijver'in Doğrusal ve Tamsayılı Programlama Teorisinde . Ve o zaman bile, bu oldukça sıradan bir tartışma. $x_1,x_2, ... , x_n$ $a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$

Bu nedenle, bu sorunla ilgili verebileceğiniz herhangi bir bilgi veya referansı çok takdir ediyorum.

En çok önem verdiğim iki soru var:

NP-Komple mi?
İlgili sorun sayısını # P zor, hatta # P tam olarak saymak mı?

— 4evergr8ful
kaynak

Bu gerçekten araştırma düzeyinde bir soru değil ve daha fazla bilgi bulamadığınıza inanmakta zorlanıyorum. Buradan başlayın: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

— domotorp

2) için, afaik, doğal sayım sürümü # P-complete olmayan bir NP-komple probleminin bilinen bir örneği yoktur. sorununuz için ciddi bir düşüş bulmak, bir referans bulmaktan daha kolay olabilir. Bu yazı yakından ilişkili #SubsetSum için yapıyor: crt.umontreal.ca/~gerardo/tsppd-p-complete.pdf

— Sasho Nikolov

Hem @domotorp hem de 4evergr8ful'dan biraz daha fazla uygarlık isteyebilir miyim? Birincisi, sırt çantası sorununun böyle bir Diophantine denklemine nasıl azaldığını açıklayabilirdi, 4evergr8ful belki de hem yardım istiyor hem de bu forumun çalışmalarında deneyimsiz olduğu için soğuyabilirdi. . Ama sırt çantası problemini de düşündüm ve Diophantine denklemlerinin olumlu çözümlerine düştüğü hiç de net değil.

— Andrej Bauer

@Austin belirtildiği gibi OP, sırt çantası ile aynı dinamik programı fikri ne zaman polinom zamanlı olarak sorunu çözmek için çalışır polinom sınırlı bulunmaktadır. yani, hayır, sorun kesinlikle np-tamamlanmış değil. ve domotorp'un sizi sırt çantası wiki sayfasına yönlendirmek için iyi bir nedeni vardı.

a_{i}

$a_i$

— Sasho Nikolov

@ 4evergr8ful Elbette, alıntıyı açıkladığınızı varsaydım. Sorun değil. Ancak, bunları "altı" yı "her" olarak değiştirerek yanlış kullandınız. G&J cimri olarak tanımladığı için (yani çözelti sayısı tamamen aynıdır), NP'deki problemler arasındaki her azalmanın cimri hale getirilebileceği doğru değildir UNLESS P = Parity-P. Bunun nedeni, SAT'dan NAE-SAT'a standart düşüşün 2'lik bir faktör getirmesidir. SAT beklenir, çünkü Parity-P için SAT tamamlanır, ancak NAE-SAT kolaydır ( ödev her zaman eşittir = 0).

— Tyson Williams

Yanıtlar:

(1) ile ilgili olarak, sorun burada NP-sert değildir, cf burada 1 sonuç :

Papadimitriou, CH (1981). Tamsayılı programlamanın karmaşıklığı üzerine. ACM Dergisi , 28 (4), 765-768.

(2) ile ilgili olarak, eğer tüm sabitler pozitifse sorun #P'de yatmaktadır. SubsetSum'un # P-complete sürümü de var, neredeyse sorun örneğinize uyuyor, ancak 0 veya 1 olmasını gerektiriyor, buraya bakın : $x_i$

Faliszewski, P. ve Hemaspaandra, L. (2009). Güç endeksi karşılaştırmasının karmaşıklığı. Teorik Bilgisayar Bilimi 410 (1), 101-107.

Faliszewski ve Hemaspaandra tarafından kullanılan yapının gereksiniminin gerekli olmadığı ve sabitlerin olması şartıyla sorunun # P-tamamlandığını iddia edecek şekilde ayarlanabileceğinden eminim. ikili kodlanmış. $x_i\in \{0,1\}$

— Christoph Haase
kaynak

Ben bu konuda hiç uzman değilim, ama yapıcı bir tartışma başlatmak istiyorum. Burada math.stackexchange.com sorusuna dayanan bir girişim Doğrusal bir diofantin denklemi için pozitif çözüm sayısını sayın . İşler hakkında hiçbir şey bilmediğim Erhart polinomları ile ilgili ve ayrıca @ SashoNikolov'un yukarıdaki yorumları için de düşünüyorum.

, Diophantine denkleminin negatif olmayan çözeltilerinin sayısı olarak tanımlayın burada katsayıları pozitif ve negatif değildir. Özyinelemlerimi doğru alıyorsam $N(a_1, a_2, \ldots, a_n; b)$

{bir}_{n} x_{n} + {bir}_{n - 1} x_{n - 1} + \dots + {bir}_{1} x_{1} = b,

$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x_1 = b,$

a_{i}

$a_i$

b

$b$

Şimdi, toplam biraz uzun (girişin uzunluğu açısından ölçülmüştür), ancak bunu hesaplamanın daha iyi bir yolunu bulmayı umabiliriz.

N- ({bir}_{1}; b) = {\begin{cases} 1 & Eğer {bir}_{1} | b \\ 0 & aksi takdirde \end{cases}

$N(a_1; b) = \begin{cases} 1 & \text{if $a_1 \mid b$} \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

N- ({bir}_{1}, ..., {bir}_{n + 1}; b) = \underset{0 \leq k \leq b / {bir}_{n + 1}}{Σ} N- ({bir}_{1}, ..., {bir}_{n}; b - {bir}_{n + 1} k)

$N(a_1, \ldots, a_{n+1}; b) = \sum_{0 \leq \ k \ \leq b/a_{n+1}} N(a_1, \ldots, a_n; b - a_{n+1} k)$

. Bunun

bir polinom olacağını biliyoruz, ancak polinomun yeterince hızlı nasıl hesaplanacağını göremiyorum.

k

$k$

b

$b$

— Andrej Bauer
kaynak

Sevgili Andrej, güçlü NP sertliği durumunda, girdinin değeri açısından değil uzunluğuyla ölçüyoruz. Ayrıca bakınız: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming

— domotorp

@domotorp, sanırım Andrej, # NP tamlığı hakkında, güçlü NP tamlığı ile ilgili ilk soruyu değil, görebildiğim kadarıyla cevaplaması çok kolay olan ikinci soruyu ele alıyor (hayır, sorun güçlü NP değil) -tamamlayınız). Andrej, burada göstermeyi umduğun şeyle kafam karıştı mı? Karar problemi NP-tam olduğundan, çözüm sayısını saymayı ümit edemezsiniz. Yaklaşık çözüm sayısını tahmin etmeyi umuyor musunuz? Veya üstel hızdan daha hızlı bir zaman algoritmanız mı var?

— Sasho Nikolov

BTW, bence bu makaledeki algoritmanın (dinamik programlama yoluyla sırt çantası için yaklaşık çözüm sayısını sayma) diophantine denklem problemine uyarlanabileceğini düşünüyorum: cs.utexas.edu/~klivans/focs11.pdf

— Sasho Nikolov

Bu sorun hakkında bir gerçek daha öğrendim. Üç tür insan vardır: buna # lineer diophantine problemi diyenler, #unund sırt çantası problemi diyenler ve son olarak buna denumrant problemi diyenler. Ve birbirleriyle konuşmuyor gibi görünüyorlar.

— 4evergr8ful