Bir matris kümesinin açıklığının bir permütasyon matrisi içerip içermediğini belirlemek için bir polinom zaman algoritması var mı?

Belirli bir matris kümesinin açıklığının bir permütasyon matrisi içerip içermediğini belirleyen bir polinom zaman algoritması bulmak istiyorum.

Herhangi biri bu sorunun farklı bir karmaşıklık sınıfında olup olmadığını bilirse, bu aynı derecede yardımcı olacaktır.

EDIT: Bu soruyu Doğrusal Programlama ile etiketledim, çünkü böyle bir çözüm varsa, bunun bir tür doğrusal programlama algoritması olacağına dair güçlü bir şüphem var. Buna inanmamın nedeni, Birhoff polipinin uç noktalarının tam olarak permütasyon matrisleri olduğudur. O zaman sadece Birkhoff polytope'nin köşeleri üzerinde maksimize edilmiş veya minimize edilmiş objektif bir fonksiyon bulabilirseniz, fonksiyonunuzu polytope ve vektör altuzayınızın kesişimiyle sınırlayabilir, ardından polinom zamanında maksimize edebilirsiniz. Bu değer bir permütasyon matrisi olsaydı, setin bir permütasyon içerdiğini bilirdiniz. Bunlar konuyla ilgili düşüncelerim.

EDIT 2: Biraz daha düşündükten sonra, bana göre permütasyon matrislerinin tam olarak Öklid normuna sahip Birkhoff Polytope unsurları olduğu anlaşılıyor $\sqrt{n}$ , Birkhoff polytope'in $n \times n$ permlikasyon matrislerinindışbükey gövdesi olduğunu düşünüyoruz. Belki bu da önemli olabilir.

EDIT 3: Yarı-kesin programlama etiketini ekledim, çünkü önceki yorumumdan sonra, yarı-lineer bir programlama çözümünün mümkün olabileceğini düşünmeye başladım, çünkü şimdi doğrusal olarak sınırlandırılmış bir kuadratik optimizasyon algoritması.

— Nick
kaynak

Giriş matrislerinde ne tür girişler bulunur?

$\;$

Girişler herhangi bir alanda olabilir, matrislerin nasıl ayarlanacağı konusunda bazı özgürlükler vardır; ancak, yeterince büyük bir alan istiyorsunuz (bu nedenle karakteristik 2'nin bir alanı örneğin iyi olmaz).

— Nick,

Bir matris kümesinin yayılma alanını açıklayabilir mi?

— Muhammed El-Türkistan

Muhammed: Bence bu matris kümesinin doğrusal bir birleşimidir.

— Vivek Bagaria

@DavidRicherby, bence Mohammad'in kafa karışıklığı, genellikle matrisleri doğrusal haritaları temsil eden bir düşünce olarak düşünmemizden kaynaklanıyor ve doğrusal haritanın aralığı bazen aralığı için başka bir terim olarak kullanılıyor. Fakat bu burada bir anlam ifade etmiyor, bu yüzden matrisleri bir vektör uzayının elemanları olarak düşüneceğimizi tahmin ediyorum

— Sasho Nikolov

Yanıtlar:

Teorem. Gönderideki sorun, Alt küme toplamından düşerek NP zorudur.

Tabii ki, sorunun op tarafından talep edildiği gibi çok zamanlı bir algoritmaya sahip olmasının mümkün olmadığıdır.

İşte sezgi. Mesajdaki sorun

Belirli bir matris kümesinin aralığında bir permütasyon matrisi var mı?

Bu aslında aynı

(Bir matrisin bir vektör olarak düşünülmesi) verilen bazı lineer kısıtlamaları karşılayan bir permütasyon matrisi var mı?

Bu sırayla aynı

İnsidansı vektörü belirli bazı lineer kısıtlamaları sağlayan mükemmel bir eşleşme (tam bir iki bölümlü grafikte) var mı?

Alt küme toplamını ikinci soruna indirgemek standart bir egzersizdir.

İşte detaylı kanıt.

Aşağıdaki ara sorunu tanımlayın:

Eşleştirme-Sum:

girdi: Negatif olmayan tamsayı kenar ağırlıkları ve negatif olmayan tamsayı hedefi ile tamamlanmış, iki taraflı grafik . $G=(U,V,E)$ $T$

Çıktı: , tam olarak mükemmel bir ağırlık eşleşmesi içeriyor mu ? $G$ $T$

Lemma 1 . Subset-Sum çoklu zamanı Eşleştirme-Toplam'a düşer.

Bunu kanıtlamak standart bir ev ödevidir. Kanıt sonunda.

Lemma 2. Eşleştirme-Toplam çoklu zamanlama, gönderideki soruna azalır.

$G=(U,V,E)$ $w:U\times V\rightarrow \mathbb{N}_+$ $T\in \mathbb{N}_+$ $U=\{u_1,\ldots,u_n\}$ $V=\{v_1, \ldots, v_n\}$ $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ $M^{(ij)}$ $\mathbb{R}^{(n+1)\times (n+1)}$ $M^{(ij)}_{ij} = T$ $M^{(ij)}_{n+1,n+1}=w(u_i, v_j)$

{M^{(i j)} : i, j \in {1, \dots, n}} .

$\big\{M^{(ij)} : i,j\in\{1,\ldots,n\}\big\}.$

$M \in\mathbb{R}^{(n+1)\times(n+1)}$ $M_{h,n+1} = M_{n+1,h} = 0$ $h\le n$

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} M_{i j} w (u_{i}, v_{j}) = T M_{n + 1, n + 1} .

$\textstyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij}\,w(u_i, v_j) = T\, M_{n+1,n+1}.$

$M^{(ij)}$ $M\in\mathbb{R}^{(n+1) \times (n+1)}$ $M$ $M'=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} M^{(ij)}$ $\alpha_{ij} = M_{ij}/M^{(ij)}_{ij} = M_{ij}/T$

M_{n + 1, n + 1}^{'} = \sum_{i j} α_{i j} w (u_{i}, v_{j}) = \sum_{i j} M_{i j} w (u_{i}, v_{j}) / T = (T M_{n + 1, n + 1}) / T = M_{n + 1, n + 1} .

$\textstyle M'_{n+1,n+1} = \sum_{ij} \alpha_{ij} w(u_i, v_j) = \sum_{ij} M_{ij} w(u_i, v_j)/T = (T\, M_{n+1,n+1})/T = M_{n+1,n+1}.$

$G$ $T$

$G$ $T$ $M'$ $M\in\{0,1\}^{(n+1)\times (n+1)}$ $n\times n$ $M_{n+1,n+1} = 1$ $M_{h,n+1}=M_{n+1,h}=0$ $h\le n$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $M'$ $T$ $M_{n+1,n+1}=1$ $M$

$M$ $n+1$ $n+1$ $M_{n+1,n+1}$ $M$ $M_{n+1,n+1} = 1$ $n\times n$ $M'$ $G$ $n\times n$ $M'$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $T M_{n+1,n+1} = T$ $T$ $~~\Box$

İşte Lemma 1'in gecikmeli kanıtı:

$(w,T)\in\mathbb{N}^n_+ \times \mathbb{N}_+$ $(G=(U,V,E), T)$ $U=\{u_1, u_2, \ldots, u_{2n}\}$ $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_{2n}\}$ $i\in\{1,\ldots,n\}$ $(u_i, v_i)$ $w_i$

$T$ $S=\{i : (u_i, v_i)\in M, i\le n\}$ $M$

$S\subseteq\{1,\ldots,n\}$ $\sum_{i\in S} w_i = T$ $\{(u_i, v_i) : i \in S\}$ $T$ $T$

{(u_{i + n}, v_{i + n}) : i \in S} \cup ⋃_{i \in {1, \dots, n} ∖ S} {(u_{i}, v_{i + n}), (u_{i + n}, v_{i})} .

$\{(u_{i+n}, v_{i+n}) : i\in S\} \cup \bigcup_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus S}\{(u_i, v_{i+n}), (u_{i+n}, v_{i})\}.$

$~~~\Box$

ps Bir kenara göre, bu cevaba göre , Eşleştirme Toplamının kenarları polinom bağlı kenar ağırlıklarına sahip örneklerle sınırlaması P'dedir. Ancak ben postdaki problemin polinom bağlı olan matrislere sınırlandırıldığından eminim (tamsayı ) girişler NP zor kalır.

— Neal Young
kaynak

Açıklıktan çok, matrislerin dışbükey gövdesini alıyor gibisiniz. Tarif ettiğiniz matrislerin aralığı, matrislerin tam alanıdır. Yoksa bir şey mi kaçırıyorum?

— Vanessa

@Squark, haklısın - "span" ı yanlış yorumluyorum. Teşekkürler. Doğru açıklık tanımını (matrislerin herhangi bir doğrusal birleşimi olarak) kullanma kanıtını düzelttim.

— Neal Young

M^{(i j)}

$M^{(ij)}$

w (u_{i}, v_{j})

$w(u_i,v_j)$

Sıfır ile bölme hakkında iyi bir nokta. Bunu düzelteceğim. İki indirimi ayrı ayrı bırakacağım, benim için bu şekilde daha sezgisel.

— Neal Young,

$O(\sqrt{\log m})$ $m$

$P$ $P$ $-P$ $M$

\forall i^{*}, j^{*} : \sum_{i} M_{i j^{*}} = \sum_{j} M_{i^{*} j} = c

$\forall i^*, j^*: \sum_{i}{M_{ij^*}} = \sum_j{M_{i^*j}} = c$

\forall i, j : - 1 \leq M_{i j} \leq 1

$\forall i,j: -1 \leq M_{ij} \leq 1$

- 1 \leq c \leq 1

$-1 \leq c \leq 1$

Eğer bu doğru bir temsil ise (emin değilseniz), o zaman bu polytopu kısıtlayan kısıtlamaları sadece sizin alt alanınıza ekleyebilirsiniz. Çizginin altındaki SDP'yi bu gösterime uyarlamak zor değil, ancak gösterimi yönetilebilir kılmak için geçmemeyi seçiyorum.

Sorununuz için yaklaşık çapın ne olduğundan emin değilim: muhtemelen alt alanın bir permütasyon matrisine yakın mı yoksa hepsinden uzakta mı olduğuna karar vermenize izin veriyor, ancak hesaplamaları yapmadım.

$P = \{x: -b \leq Ax \leq b\}$ $A$ $m \times n$

$\alpha^2 = \max \sum_{i = 1}^n{\|v_i\|_2^2}$

tabi:

$\forall 1 \leq i \leq m: \|\sum_{j = 1}^n{A_{ij} v_j}\|_2^2 \leq b_i^2$

Üstü üzerinde aralığında boyutlu vektörler. Bu standart bir şekilde bir SDP olarak yazılır ve bir çapa sahip olan bir gevşeme edilebilir , örneğin, en azından bir Öklid çapıdır . $v_i$ $n$ $P$ $\alpha$ $P$

Şimdi olduğunu iddia ediyorum . Bunu göstermek için, size bir algoritma verecek verilen değerinin , çıkışlar uzunluğunun en azından . Algoritma sadece rastgele bir projeksiyondur: rastgele boyutlu bir vektör ; burada her standart bir . Takım . Gaussların standart özelliklerine göre: $\alpha \leq O(\sqrt{\log m})\cdot \text{diam}(P)$ $(v_i)_{i=1}^n$ $\alpha$ $x \in P$ $\frac{\alpha}{O(\sqrt{\log m})}$ $n$ $g$ $g_i$ $\tilde{x}_i = g^T v_i$

E ‖ \tilde{x} ‖_{2}^{2} = α^{2}

$\mathbb{E}\ \|\tilde{x}\|_2^2 = \alpha^2$

\forall i \leq m : E | (A \tilde{x})_{i} |^{2} \leq b_{i}^{2} \Rightarrow E {max}_{i = 1}^{m} \frac{| (A \tilde{x})_{i} |}{b_{i}} \leq C \sqrt{\log m} .

$\forall i \leq m: \mathbb{E}\ |(A\tilde{x})_i|^2 \leq b_i^2 \ \ \Rightarrow \ \ \mathbb{E}\ \max_{i=1}^m{\frac{|(A\tilde{x})_i|}{b_i}} \leq C\sqrt{\log m}.$ son sınırın yeterince büyük (bu, subguassian rasgele değişkenlerinin maksimum değeri hakkında standart bir gerçektir ve Chernoff sınırını kullanarak kanıtlanabilir).

C

$C$

m

$m$

İki denklem zaten bir var, öyle ki burada ve . Veya, konsantrasyon sınırlarını kullanarak, sabit olarak ve . $x$ $x \in P$ $\|x\|_2^2 \geq \frac{1}{C\sqrt{\log m}}\alpha$ $\frac{1}{2C\sqrt{\log m}}\tilde{x} \in P$ $\|\tilde{x}\|_2\geq \frac{1}{2}\alpha$

— Sasho Nikolov
kaynak