Hangi sınıfta tam olarak% 25 şansla hata yapan rasgele algoritmalar var?

Diyelim ki E (xact) BPP olarak adlandırmamızı sağlayan aşağıdaki BPP varyantını göz önünde bulunduruyorum: Dilin her kelimesini tam olarak 3/4 olasılıkla ve içinde olmayan her kelimeyi kabul eden polinom zaman randomize bir TG varsa bir dil EBPP'de tam olarak 1/4 olasılıkla dil. Açıkçası EBPP BPP'de bulunur, ancak eşit midir? Bu çalışıldı mı? Benzer şekilde tanımlanabilen ERP ne olacak?

Motivasyon. Benim ana motivasyonum, Faenza ve ark. (bkz. http://arxiv.org/abs/1105.4127 ). Öncelikle böyle bir algoritmanın hangi karar problemlerini çözebileceğini anlamak istedim (en kötü durumda polinom çalışma süresi ile). Bu sınıfı E (xpected) V (alue) PP ile gösterelim. USAT $\in$ EVPP'yi görmek kolaydır . Ayrıca EBPP $\subset$ EVPP görmek kolaydır . Bu benim motivasyonumdu. EVPP hakkında herhangi bir geri bildirim de açığız.

Aslında, algoritmaları her zaman negatif olmayan bir sayı üretir. EVP (düzensiz) PP tarafından böyle bir algoritma tarafından tanınan karar sorunlarını belirtirsek, yine de USAT $\in$ EVPPP var. EBPP, EVPPP'nin bir alt kümesi olmasa da, ERP $\subset$ EVPPP var. Belki bunları kullanarak karar problemleri için (negatif olmayan) bir sıralama tanımlayabiliriz.

Bir yan not olarak, EBPP'nin sağlam bir sınıf olduğu açık değildir. Örneğin, algoritmanın tarafsız bir parayı çevirmesine izin vermek yerine, tarafsız bir 3 taraflı para veya 6 taraflı bir kalıp verildiğinde, aynı sınıfı aldığınız açık değildir. Bu ayrıntıları değiştirirseniz BPP aynı kalır.

Her neyse, birincil sorunuz EBPP'nin BPP'ye eşit olup olmadığıdır. Bana öyle geliyor ki EBPP, P'ye BPP'den daha yakın. Büyük bir giriş dizesine erişime sahip oldukları ve bu dizenin bitlerini öğrenmek için sorgulama yapmak zorunda oldukları bu sınıfların sorgu karmaşıklığını veya oracle sürümünü düşünün. Bir işlev hesaplayan bir P algoritması varsa ile Q, sorgu, daha sonra kesin derece polinom temsil vardır Q için f fazla R . (Bu her zamanki polinom yöntemi argümanıdır.) Öte yandan, bir BPP algoritmanız varsa, o zaman R'ye göre f'ye yakın bir derece Q polinomu alırsınız.$f$$Q$$Q$$f$$\mathbb{R}$$Q$$\mathbb{R}$$f$her girdideki değerinin değerine yakın olması anlamındadır .$f$

Bir fonksiyonu için bir EBPP algoritması verildiğinde, cevap NO olduğunda 1/4 ve cevap EVET olduğunda 3/4 veren bir polinom oluşturabiliriz. 1/2'yi çıkararak ve 2 ile çarparak, tıpkı P örneğinde olduğu gibi, tam olarak temsil eden bir polinomu elde edebilirsiniz. Bu bana EBPP'nin P'ye daha yakın olduğunu gösteriyor.$f$

Bu gözlem, EBPP ve BPP arasında kesin bir ayrımı göstermek için de kullanılabilir. Girişin 2N / 3 1s'den daha fazla veya N / 3 1s'den daha az olduğuna ve söz konusu durumda hangisine karar vermeniz gerektiğine söz verdiğiniz vaat-Çoğunluk sorununu düşünün. Bu açıkça BPP'de. Yukarıda açıklanan polinom argümanını kullanarak, bu fonksiyonun bir EBPP makinesi için sorguları gerektirdiği gösterilebilir . Ancak, P ve EBPP arasında başka bir şekilde ayrı bir ayrım yapabileceğinizi de unutmayın. Belki de oracle sonuçları bu problem için fazla bir şey söylemiyor? Ya da belki söyledikleri, her iki yönde de eşitliği göstermenin zor olacağıdır.$\Omega(N)$

Kâhin ayrılıklarına gelince, EBPP = BPP = EXP ^NP ile bir kehanet ve P = ⊕P (ve dolayısıyla EBPP = P) ve BPP = EXP ^NP ile bir kehanet vardır .

BPP = EXP ^NP oracle'in bir yapısı ( BPP wikipedia makalesindekiler dahil ) göreceli bir EXP ^NP tam problemi seçmek ve giriş boyutuna (bu sorun için) tekrar tekrar devam etmek, o boyuttaki sorun örnekleri için sonuçları düzeltmek ve giriş ve sorgulanmamış bir dolgu (uygun uzunlukta) ile sorgulanırsa bu soruna cevaplar verin. EBPP = EXP ^{NP için} , neredeyse her zaman doğru cevapları vermek yerine, sayıları tam olarak doğru yapmak için yeterli yanlış cevaplar verebiliriz. EBPP'nin sıfır hata analoğunun (tam olarak 1/2 hata bildirme olasılığı) EXP'ye (ve P = butP ancak ZPP = EXP'ye sahip bir kehanet) eşit olduğu bir kehanet vardır.

P = ⊕P ve BPP = EXP ^NP torpil not edilir burada .

BPP'de ve C ₌ P'de olmanın yanı sıra , EBPP ⊕P'de çünkü tanıkların sayısını azaltma ve daha sonra bu sayıyı ayarlayabilme.

Serbestleştirilmemiş dünyada, BPP muhtemelen P'ye eşittir, ancak kanıtlar EBPP için daha da güçlüdür. EBPP, beklenmedik bir iptal gerçekleşmediği sürece, esasen imkansız görünecek şekilde tam yol sayısına bağlıdır.

Bu kısmi bir cevaptır; belki daha iyi bir tane sunması için başka birine ilham verecektir. $\newcommand{\EBPP}{\mathsf{EBPP}}$ $\newcommand{\CP}{\mathsf{C}_=\mathsf{P}}$

sınıfınız C = P'nin özel bir halidir . Bence C = P'yi tanımlamanın bir yolu şöyledir ( bu makalenin 2. Bölümüne bakınız ). Bir dil L ise C = P doğrulayıcı bir polinom zaman olduğu takdirde V şekildedir$\EBPP$$\CP$$\CP$$L$$\CP$$V$

• Eğer olan L , daha sonra Pr w [ V ( x , a )  kabul ] = $x$$L$ ve$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• Eğer olmayan L , o zaman Pr w [ V ( x , a )  kabul ] ≠ $x$$L$ .$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] \neq \frac{3}{4}$

(Tamlık olasılığı esasen sabit bir fraksiyon olabilir; 3'ü seçtim , sorunuzda verilen olasılıkla eşleşecek şekilde.)$\frac{3}{4}$

tanımlamanın bir yolu aşağıdaki gibidir. Bir dil L olan E B P , P doğrulayıcı bir polinom zaman olduğu takdirde V şekildedir$\EBPP$$L$$\EBPP$$V$

• Eğer olan L , daha sonra Pr w [ V ( x , a )  kabul ] = $x$$L$ ve$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• $x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{1}{4}$