Sınırsız fraksiyonel hipertansiyon genişliğine sahip CSP'ler

$\acute{\rm a}$H ∈ P T I M $H$$H$$\in PTIME$

Tanımlar vb.

Standart ağaç ayrışmaları ve trewidth ile ilgili harika bir araştırma için buraya bakın (Zaman ayırdığınız için teşekkürler, JeffE!).

Let $H$ , bir hypergraph olabilir.

Sonra bir hipergraf $H$ ve \ gamma eşlemesi için : E (H) \ tekrar baş [0, \ infty)$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$ ,

$B(\gamma) =$ { $v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$ }.

Ayrıca, ağırlık ( $\gamma$ ) = $\sum_{e \in E}\gamma(e)$ .

Daha sonra bir fraksiyonel hypertree ayrışma $H$ üçlü olan $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$ , ki burada:

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ , H'nin ağaç ayrışmasıdır $H$ve
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ den eşleştirmeleri ailesidir $E(H)$ için $[0, \infty)$ her st $t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$ .

Daha sonra ki genişliği arasında olduğu {ağırlık (\ gamma_t), t \ V (T) } içinde.$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

Son olarak, fraksiyonel hypertree genişliği $H$ , fhw ( $H$ ), mümkün olan tüm fraksiyonel hypertree bozunmanın fazla genişlikte minimum $H$ .

Soru

Yukarıda belirtildiği gibi, bir CSP'nin temel grafiğinin fraksiyonel hipertree genişliği bir sabitle sınırlanmışsa, CSP'yi çözmek için bir polinom zaman algoritması vardır. Bununla birlikte, bağlanmamış makalenin sonunda, sınırsız hipertansiyon genişliğine sahip olan polinom zamanı çözülebilir CSP vakalarının ailelerinin olup olmadığı açık bir sorun olarak kaldı. (Ayrıca şunu belirtmeliyim ki, varsayımı altında sınırlı veya sınırsız treewidth ( ACM alıntısı ) durumunda bu soru tamamen çözülmüştür .) İlk bağlantılı makaleden bu yana biraz zaman geçtiğinden , artı bu alt alanın genel durumundan nispeten habersizim, sorum şu:$FPT \ne W[1]$

CSP'lerin sınırsız fraksiyonel hipertansiyon genişliğine sahip grafikler üzerindeki (in) izlenebilirliği hakkında bilinen bir şey var mı ?

Her ikisi de varsayımlarla iki makaleye bağlandınız. Sanırım Grohe'nin 2007 varsayımı demek istiyorsun.

Bu soru 2008 yılında cevaplandı:

Teorem 5. CSP ( , _) NP'dedir, ancak P veya NP-tam değildir (P = NP olmadığı sürece). Ayrıca, set , deterministik polinom zamanında kararlaştırılabilir.$_0$$_0$

• Manuel Bodirsky ve Martin Grohe, Kısıt Memnuniyet Karmaşıklığında İkilik Olmayanlar, ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

Fikir, Ladner tarafından teoremi için tanıtılan aynı gecikmeli köşegenleştirme tekniği ile CLIQUE örnek boyutlarında delikler açmaktır. Grubu Cı bu Not keyfi büyük klikler ihtiva etmektedir ve bir kısmi hypertree genişliği -clique olan . Bu nedenle, A'nın sınırsız fraksiyonel hipertree genişliğine sahip olduğu, ara karmaşıklığa sahip CSP (A, _) formundaki CSP'lere sahip olmak mümkündür. Bu, Grohe'nin olumsuzdaki varsayımına cevap verir.$_0$$n$$n/2$

Aynı konferansta Chen, Thurley ve Weyer de benzer bir sonuca sahip bir makaleye sahiptiler, ancak bu, teknik olarak güçlü düğünler gerektiren, tahmin için doğru formda değildi.

• Yijia Chen, Marc Thurley ve Mark Weyer, Uyarılmış Altgraf İzomorfizmlerinin Karmaşıklığını Anlamak , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

Son olarak, herhangi bir CSP örneği sınıfı, en kötü durum fraksiyonel hipertree genişliğine sahip bir temsile dönüştürülebilir. Birçok durumda, bu dönüşüm polinom olarak boyut olarak sınırlanmıştır ve polinom zamanında yapılabilir. Bu, sınırsız fraksiyonel hipertree genişliğine, hatta modulo homomorfik eşdeğerliğe sahip CSP'lerin üretilmesinin kolay olduğu anlamına gelir. Bu CSP'ler, hedef yapılar özel olduğu için CSP (A, _) formunda olmayacaktır, ancak sadece kaynak yapıları kısıtlayarak tanımlanan CSP'lerin o kadar ilginç olmadığı için düzgün bir neden sunmaktadırlar: kaynak yapının geniş genişliği olacak şekilde gösterimi değiştirerek bir CSP örneğinin ağaç benzeri yapısını gizlemek çok kolay. (Bu benim bölüm 7. tartışılmaktadır tez .)