Doğrusal programlama ile çözülemeyen semidefinite programlama ile ne çözülebilir?

9

Doğrusal programlara ve doğrusal kısıtlamalara ilişkin sorunları çözebilmeleri için doğrusal programlara aşinayım. Peki ya semidefinite programlama lineer programlamanın yapamayacağını ne çözebilir? Yarı-yarım programların doğrusal programların genelleştirilmesi olduğunu zaten biliyorum.

Ayrıca, semidefinite programlama kullanılarak çözülebilecek bir problem nasıl tanınır? Doğrusal programlama ile çözülemeyen yarı-yan programlamanın kullanıldığı tipik bir sorun nedir?

Herhangi bir yanıt için çok teşekkürler.

linear-programming convex-optimization semidefinite-programming

— user11094
kaynak

2

Belki sorunuzu daha kesin yapabilirsiniz? Sonuçta, doğrusal programlama

P

$\mathsf{P}$ -tamamlayınız.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

5

@KristofferArnsfeltHansen İnsanların neden bu gerçeği benzer tartışmalarda gündeme getirdiğini merak etmeyi asla bırakmam. P'yi L veya NC'den ayırmaktan bahsetmediğimiz sürece P-tamlığı önemsizdir - eğer çoklu zamandan bahsediyorsak, P'deki her şey "P-tam" dır. OP'ye bir cevap önermek için: bir sorunun doğrusal kodlamasını düzelttikten sonra (yani, bir doğrusal işlevi bir politop üzerinde en iyi duruma getirme olarak yazın), çok boyutlu bir LP / SDP'nin sorunu çözüp çözemeyeceğini sormak mantıklıdır.

— Sasho Nikolov

18

Tipik bir sorun MaxCut'tur: (yaklaşık olarak) kesilen kenar sayısını en üst düzeye çıkaran bir grafikte bir kesik çıktılar. Goemans ve Williamson , bir SDP'nin MaxCut'un değerine en az 0.878 bir faktör içinde yaklaştığını gösterdi. Son zamanlarda, Chan, Lee, Raghavendra ve Steurer , MaxCut probleminin doğal bir doğrusal kodlaması için, tüm polinom boyutlu LP'lerin 0.5'ten daha iyi olmayan bir yaklaşıma ulaştığını gösterdi.

SDP'den genellikle ne tür problemlerin faydalandığını kısaca söylemek zor. SDP gevşemeleri oluşturmak için sistematik bir yaklaşım, en güçlüsü Lasserre hiyerarşisi olan hiyerarşilerdir: güzel bir giriş için Rothvoß'un anketine bakın . Şimdiye kadar SDP'lerin listelenecek optimizasyondaki başarılarının çok fazla örneği var. Ayrıca, Raghavendra , Unique Games varsayımı doğruysa, belirli bir SDP'nin tüm MaxCSP sorunlarına en iyi yaklaşımı verdiğini gösterdi .

Kitaplarını kontrol Gaertner ve Matousek , bölümler 6 ve 13. maddeleri Willimson ve Shmoys' kitabında , Lovasz araştırmasında .

— Sasho Nikolov
kaynak

12

Birçok kombinatoryal optimizasyon problemi için (örneğin Max-Cut), semidefinite programlama IP formülasyonlarının LP gevşemesinden çok daha güçlü gevşeme sağlar. Bu, sınırların daha iyi kalitesi nedeniyle yaklaşık algoritmaların ve doğrusal muadillerinden daha verimli olan tam algoritmaların tasarımına izin verir. Örnekler Christoph Helmberg'in Habilitation tezinde , bu ankette ve bu ders sayfasında bulunabilir .

Semidefinite programlamasından yararlanan bir başka muhteşem sonuç dizisi, Razborov'un bayrak cebirlerinin Turan tipi problemler üzerindeki sonuçları kanıtlamak için uygulanmasıdır ( bu ankete ve bayrak projesine bakın ).

— Thomas Kalinowski
kaynak