Yönlendirilmemiş Grafikte Basit Yol Sayısını Sayma

18

Yönlendirilmemiş bir grafikteki benzersiz basit yolların sayısını belirlemeye nasıl devam edebilirim? Belirli bir uzunluk için veya kabul edilebilir uzunluklar aralığı için.

Basit bir yolun döngüsüz bir yol olduğunu hatırlayın, bu yüzden döngüsüz yol sayısını saymaktan bahsediyorum.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ryan
kaynak

2

Bu zaten mathoverflow'da soruldu: mathoverflow.net/questions/18603/…

— Liste

5

Aslında, mathoverflow'daki soru tüm yolları bulmak ve onları saymamakla ilgiliydi. Onları bulmak çok daha zor olabilir.

— DCTLib

1

Cevaplarda verilen referansların yanı sıra, önemsiz bir gözlem, eğer

uzunluğundaki yolların sayısını sayabilirse , hamilton yolunun varlığı sorununa cevap verebileceğidir. Büyük olasılıkla P. değil

n - 1

$n-1$

— Saeed

20

Uzunluğu basit yolları sayısı çeşitli algoritmalar mevcuttur olarak çok daha iyi kaba kuvvet (daha zaman, süresi). Bkz. Örneğin Vassilevska ve Williams, 2009 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Andreas Björklund
kaynak

18

# P-complete (Valiant, 1979), yani kesin cevabı istiyorsanız, kaba kuvvetten çok daha iyi bir şey yapmanız pek mümkün değildir. Yaklaşımlar Roberts ve Kroese (2007) tarafından tartışılmıştır.

B. Roberts ve DP Kroese, " Bir grafikteki - yollarının sayısını tahmin etme $s$ $t$ ". Grafik Algoritmaları ve Uygulamaları Dergisi , 11 (1): 195-214, 2007.

LG Valiant, " Sayım ve güvenilirlik problemlerinin karmaşıklığı ". SIAM Bilişim 8 (3) Dergisi : 410-421, 1979.

— David Richerby
kaynak

4

Roberts ve Kroese makalesi yaklaşık garanti vermiyor gibi görünüyor. Bu sorun için bilinen bir PTAS var mı?

— Sasho Nikolov

3

@SashoNikolov, makul bir yaklaşım algoritması olması muhtemel görünmüyor. Verilen

elde edilir

den

boyutu bir klik ile her düğümü yerine

ve

. Uzunluğu her biri basit bir yol için

içinde

kabaca vardır

yollarının

. Eğer

bir

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

Hamilton yolu,

de en azından

ya da çok basit

yolları olacaktır, aksi takdirde

gibi bir şey

basit

yolu. Bu yüzden yaklaşık

katsayısında yaklaşık tahmin etmek zor olmalı

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

.

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Neal Young

6

Başka bir yaklaşım algoritması, parametreli bir tane eklemek istiyorum: Sabit bir (veya daha doğrusu, $\delta>0$ ), sen hesaplayabilirbiruzunluğu, her iki yönsüz veya yönlendirilmiş grafikte, basit yoldan sayısı -approximationsürede. $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
kaynak