Kalıcıların benzersiz bir terimi olup olmadığına karar verebilir miyiz?

Tamsayı girişleri olan bir n'ye n matrisi, M, varsayalım. Biz olup olmadığını P karar Can bir permütasyon öyle ki tüm permütasyon için Elimizdeki ?$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

Uyarılar. Elbette ürün bir miktarla değiştirilebilir, sorun aynı kalır.

Matrisin yalnızca 0/1 girişleri varsa, NC'de bile olan Bipartite-UPM problemini alırız.

Düzenleme: Yorumlarda Neal tarafından belirtildiği gibi, en küçük terimin benzersiz olup olmadığına karar vermek P'de minimum ağırlık eşleme problemine eşdeğerdir.

Düzenle: Benzer sorular:

Kenar ağırlıklı bir grafikte, benzersiz bir ağırlığa sahip bir Hamilton çevrimi var mı?

Her değişken / tatmin edici atamaya ağırlık atanmış bir CNF'miz varsa, benzersiz bir ağırlık tatmin edici atama var mı?

Bunlar elbette en azından NP zordur. Bu sorunlar orijinal ile aynı mı yoksa daha mı zor?

Güzel sorun! Bir sorununuzu çözebilirse, o zaman aşağıdaki sorunu da çözebileceğini gösteren bir azalma vermek zor değildir, İZOLELİ SUBSET TOPLA deyin:

Verilen tamsayılar bir ₁ , ..., bir _n bir alt kümesi S vardır _i 'nin kimin toplamı başka alt kümesi tarafından paylaşılmıyor?

İndirgeme, ilk olarak, İZOLELİ ALT ALT TOPLAMI İZOLELİ MÜKEMMEL EŞLEŞTİRMEYE indirgeyerek çalışır, ağırlıklı bir iki taraflı grafik G verildiğinde, ağırlığı başka herhangi bir mükemmel eşleşme ile paylaşılmayan mükemmel bir eşleşme bulmak istiyoruz. Bu azaltma basittir: her i için, G'de 2x2 tam alt G _i alt çizgisi oluşturun , böylece G _i için seçtiğimiz iki olası eşleşmeden hangisi, bir _i'nin S setinde olup olmadığına dair seçimimizi kodlar .

Ardından, sorununuza İZOLELİ MÜKEMMEL EŞLEŞTİRME sorununuzu aşağıdaki gibi azaltın:

1. Tüm i, j için, kenar (i, j) varsa ve w _ij ağırlığına sahipse , M _ij : = exp (w _ij ) olarak ayarlayın. (Bu, toplamları ürünlere dönüştürür.)
2. Tüm i, j için kenar (i, j) yoksa M _ij : = 0 _{ayarını yapın} .
3. İki veya daha fazla permütasyon olduğundan emin olmak için M tuşuna basın π _i M _{i, π (i)} = 0 olacak şekilde.

Şimdi, İZOLE ALT SUM kesinlikle hissediyor (bariz üst bağlanmış sadece Σ o en azından NP-zor gibi ve belki daha da zor bundan daha var ₂ P)! Ayrıca, belki de İZOLELİ SUBSET SUM'un Valiant-Vazirani tarzı rastgele bir indirgeme kullanarak NP-sert olduğunu kanıtlayabiliriz. Ancak bu, bir başkasına bıraktığım bir zorluk ...

İşte kısmi bir ilerleme, tam bir cevap değil. Aşağıdaki Lemma 1, posttaki ilk sorunun ko-NP Hard olduğunu göstermektedir. (Sorun olan "kare matris Verilen $M$ tamsayı girişleriyle, orada bir permütasyon $\pi$ şekilde $\prod_i M_{i\pi(i)}$ ? Tektir" ) Biz bu sorunu diyoruz Benzersiz Daimi Süreli . Lemma 1'in ardından, postta belirtilen ilgili problemler hakkında bazı gözlemler verilmiştir.

Lemma 1. Benzersiz Kalıcı Terim ortak NP zordur.

Kanıt. Altküme Ürünü sorununu çağırın: Negatif olmayan tamsayıların ve (sıfır olmayan) hedef $T$ bir koleksiyonu verildiğinde , ürünü $T$ eşit olan tamsayıların bir alt kümesi var mı? Bu sorunun NP-tam olduğu bilinmektedir. Lemmayı göstermek için, tamamlayıcı ortak Altküme Ürününün Benzersiz Kalıcı Terime nasıl indirileceğini gösteririz.

Kanıt için, Benzersiz Daimi Terim'in her $M$ örneğini standart olarak kenar ağırlıklı iki taraflı grafik $G=(U, W, E)$ olarak yorumlarız. Kendisine, matris $M$ "biadjacency matriks" $M_{ij}$ kenarın ağırlığıdır $i$ inci tepe $U$ için $j$ th tepe $W$ böyle bir kenar olup olmadığını veya 0. Bu gösterimde soru, grafiğin, eşleşmedeki kenarların ağırlıklarının çarpımının benzersiz olacağı şekilde mükemmel bir eşleşmeye sahip olup olmadığıdır.

X = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ' nin x 1 , x 2 , … , x n ve T'nin hedef olmadığı negatif olmayan tamsayıların bir toplamı olduğu bir giriş $(x, T)$ verildiğinde , azaltma çıktıları ilk şekilde (a) etiketli aşağıdaki şekilde gösterilen ağırlıklı iki parçalı grafik. N = 3 için grafiği gösteriyoruz . Etiketlenmemiş kenarların ağırlığı 1'dir. (Bu yapı, Şekil 1'den esinlenmiştir.$x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$T$$n=3$C. Broder'ın, Jorge Stolfi'ye atfedilen bir örneği gösteren kalıcı olanın yaklaşıklaştırılması hakkındaki makalesi.

Şeklin (a) kısmı grafiğin tamamını gösterir. Kenarlarından sadece dördü (genel olarak $n+1$ ) 1 dışında bir ağırlığa sahiptir. Örnekte kenar (1, 11) ağırlık $x_1$ , kenar (3, 13) ağırlık $x_2$ , kenar (5, 15) ağırlığı $x_3$ ve kenar (1, 18) ağırlığa sahiptir $T$ . Bu azalmayı tamamlar. Sonra bunun doğru olduğunu iddia ediyoruz.

$T$$T$$T$

$S$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$x_1, x_3$$S$

$x_1, x_2, \ldots, x_n$$T$$~~\Box$

Hakkında Gözlemler Benzersiz-Kilo Hamilton Döngüsü ve Benzersiz-Kilo SAT . (Görev sonunda belirtilen ilgili iki sorun.)

Gözlem 1. Eşsiz Ağırlıklı SAT ve Eşsiz Ağırlıklı Hamilton Döngüsü NP-zordur.

(Eşsiz Ağırlıklı SAT için, tüm ağırlıkların ikisinin farklı güçleri olduğu özel durum normal SAT'a eşdeğerdir, çünkü her atamanın ayrı bir toplam ağırlığı vardır. )

Gözlem 2. Benzersiz Ağırlıklı SAT'ın tüm ağırlıkların sıfır olduğu durumlarla sınırlandırılması klasik Benzersiz SAT sorununa eşdeğerdir.

O Hatırlama Benzersiz SAT edilir "bir Boole formülü göz önüne alındığında, tam olarak bir tatmin atama var?" ( Kesin olmayan SAT ile karıştırılmamalıdır, SAT'ın en fazla tatmin edici bir görev olduğu durumlarda kısıtlanmasıyla elde edilen söz problemidir). Eşsiz SAT (ve cimri indirimler yoluyla, Benzersiz Hamilton Döngüsü) , ortak NP içeren (ve DP'de bulunan ) karmaşıklık sınıfı ABD için tamamlanmıştır . 1998 itibariyle, ABD'nin ko-NP'ye eşit olduğu düşünülmüyordu . Benzersiz Hamilton Döngüsü ( Bir grafik verildiğinde, tam olarak bir Hamilton Döngüsü var mı?) tamamen sıfır ağırlığa sahip örneklerle sınırlandırılmış Benzersiz Ağırlıklı Hamilton Döngüsüne eşdeğerdir. Yani:

Gözlem 3. Eşsiz Ağırlıklı SAT ve Eşsiz Ağırlıklı Hamilton Döngüsü ABD serttir ve bu nedenle ko-NP serttir.

Lemma 1'in kanıtı hakkında küçük açıklamalar:

1. Benzersiz Kalıcı Terimin, en fazla bir benzersiz terimi olan durumlarda bile ortak NP zor kaldığını gösterir ve girdi ayrıca benzersiz olabilecek terimi belirtir. Sorunun bu varyantı ko-NP'tedir ve bu nedenle ko-NP tamamlanmıştır.

2. $-\infty$

   Ayrıca, kodlama ve sayısal kesinlik sorunları da vardır --- örneğin, Altküme Toplamı ve Altküme Ürünü sorunlarıyla ilgili çeşitli çevrimiçi tartışmalara bakın

Kalan doğal sorular:

1. Benzersiz Kalıcı Terim NP zor mu?

2. ABD-sert?

3. Burada çeşitli sorunlar DP'de değerlendiriliyor mu?

4. $\Sigma_2$$\Sigma_2$

5. Benzersiz Ağırlık SAT (veya "Benzersiz Ürün " SAT) 'dan Benzersiz Kalıcı Terime çoklu zaman düşüşü var mı ?