Maksimum ayrık küme: açgözlü algoritmanın gerçek yaklaşım faktörü nedir?

Belirli bir aday koleksiyonundan maksimum ayrık bir küme bulma problemini düşünün - üst üste binmeyen geometrik şekiller kümesi. Bu NP tamamlanmış bir sorundur, ancak çoğu durumda aşağıdaki açgözlü algoritma sabit faktör yaklaşımı verir:

• Her aday şekli için , x , onun hesaplamak ayrık kesişim sayısı $DIN(x)$ ayrık şekilleri bu kesişme en büyük sayı = X .
• En küçük DIN ( $\arg \min_{x} DIN(x)$ ) olan bir aday şekli seçin . Onu ve kesiştiği tüm şekilleri kaldırın.
• Daha fazla aday kalmayana kadar devam et.

Örneğin, Wikipedia sayfasından aşağıdaki rakamları göz önünde bulundurun:

Yeşil disk diğer 5 diski keser, ancak DIN 3'tür (3 kırmızı disk ayrıdır). En üstteki ve en alttaki kırmızı diskler diğer 2 diski kesiyor, ancak kendileri kesişiyorlar, bu yüzden DIN'leri 1'di. Sarı diskler 2'lik bir DIN değerine sahip.

Minimum DIN sabit ile sınırlandırılabilirse, açgözlü algoritma bir polinom sabit faktör yaklaşımıdır.

Örneğin, tüm aday şekiller birim diskler ise, Marathe ve diğerleri (1995) , en fazla 3 DIN değerine sahip bir diskin her zaman bulunduğunu gösterir: en soldaki disk (en küçük x koordinatına sahip disk) en fazla 3 ayrı disketi keser . Bu nedenle açgözlü algoritma, 3-yaklaşımı verir çünkü optimal çözümde her (en fazla) 3 disk için 1 disk alır.

Benzer şekilde, eğer tüm aday şekiller rasgele büyüklükteki diskler ise, açgözlü algoritma 5 yaklaşımı verir, çünkü en küçük disk en fazla diğer 5 ayrık diski keser, yani minimum DIN en fazla 5'tir.

Şimdiye kadar çok iyi, ama bu 3 ve 5 faktörleri sıkı mı? Emin değilim.

Yukarıdaki rakamı düşünün. En soldaki diski (yeşil) seçmek, boyut 1'in maksimum ayrık kümesine 3-yaklaşımı olan 1 boyutundaki ayrık bir kümeyi bulacaktır, ancak açgözlü algoritma yeşil diski seçmez - seçecektir DIN 1 olan üst / alt kırmızı disk, bu durumda açgözlü algoritma en uygun çözümü bulacaktır.

Maksimum ayrılma kümesi varken açgözlü algoritmanın birim disklerle ayrık bir küme bulduğu genel için bir karşı örnek bulamadım . Aslında, minimum DIN'in gerçekten 3 olduğu genel bir karşı örnek bile oluşturamadım. En iyi bulabildiğim en iyi şey, her bir birim diskinin en fazla 2 ayrı diskten (yani minimum DIN ile kesiştiği) 2). Fakat burada bile açgözlü algoritma 2-yaklaşımdan ziyade en uygun çözümü bulur:n 3 $n$$n$$3n$

Benim sorularım:

• Ne gerçek birim disklerin koleksiyonlarında max DIN? Keyfi boyutlu diskler?
• Açgözlü algoritmanın birim disk koleksiyonları için gerçek yaklaşım faktörü nedir ? Keyfi boyutlu diskler için mi? (bu faktör en fazla DIN max kadar büyük, ancak daha küçük olabilir).

GÜNCELLEME: Her k- , tanımlayın = birlikteliğinin kesiştiği en büyük ayrık şekil sayısı . , ayrık şekillerin tüm k- minimum olarak tanımlayın . D I , N ( X 1 , . . . , X k ) X 1 ∪ . . . ∪ x k m i n D İ N $x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

Örneğin, aşağıdaki , , çünkü her daire diğer 3 daireyi keser. , çünkü bir tanesi dış çemberden biri iç çemberden birbirinden sadece 4 çember kesişen 2 ayrık daire seçmek mümkündür. Her için , .m ı n D I , N 2 = 4 k m ı n D I N k ≤ k + $minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

Açgözlü algoritmanın yaklaşık oranının ile sınırlandırılabileceğini , çünkü, optimal her şekli için algoritma çıktısında en az şekline sahip olduğumuzu düşünüyorum . Bu doğru mu? mınDINk$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

EDIT: Şimdi mükemmel bir kitap okuyorum . Ayrık geometride Araştırma problemleri . Bu sorunu tam olarak bulamama rağmen, birbiriyle alakalı görünen bir sorun buldum. "Birçok Komşulu 2.5 İnce Paketleme" bölümünde, her dairenin diğer 5 daireye temas ettiği daire paketlerinin örnekleri vardır. Böyle bir ambalajın, DIN = 5 olan bir daire konfigürasyonu sağlayabildiğini merak ediyorum.

Birim disk koleksiyonundaki asgari maksimum DIN nedir?

3.