Logaritmik derinliğe sahip klips genişliği ifadeleri

Genişlik w olan bir grafiğinin ağaç ayrışması verildiğinde , bunu "hoş" hale getirmenin birkaç yolu vardır. Özellikle, ağacın ikili olduğu ve yüksekliğinin O olduğu bir ağaç ayrışmasına dönüştürülmesinin mümkün olduğu bilinmektedir ( log n ) . Bu, ayrışma genişliğini en fazla 3 w tutarak elde edilebilir . (Bkz. Örneğin Bodlaender ve Hagerup tarafından "Sınırlı trewidth için optimum hıza sahip paralel algoritmalar"). Yani, logaritmik derinlik, neredeyse ücretsiz olarak alabileceğimiz bir ağaç ayrışmasının özelliğidir.$G$$w$$O(\log n)$$3w$

Sorum şu: Klips genişliği için benzer bir sonuç veya belki de bir karşı örnek varsa. Diğer bir deyişle, bir klik genişliği ifade verilen kullanılarak k etiketler, orada yapar daima yükseklik bir klik genişliği ifade mevcut O ( log n ) için G olduğu en kullanımlar, f ( k ) etiket? Burada yükseklik, doğal olarak, klik genişliği ifadesinin ayrıştırma ağacının yüksekliği olarak tanımlanır.$G$$k$$O(\log n)$$G$$f(k)$

Yukandakine benzer bir ifade bilinmiyorsa, bir örneği olduğu -vertex grafiktir G hizipçi genişliği ile k , oluşturmak için tek yol olduğu gibi G ile etiket büyük olan bir ifade kullanmak derinlik?$n$$G$$k$$G$$f(k)$

Bir süre sonra literatürde bir cevap buldum, bu yüzden başka birine faydalı olması durumunda burada gönderiyorum.

Aslında, logaritmik derinliğe sahip olacak şekilde, klik-genişlik ifadelerini yeniden dengelemek mümkündür. Sonuç, Courcelle ve Kanté, WG '08 tarafından "Sıra genişliği ve dengeli grafik ifadelerini karakterize eden grafik işlemleri" makalesinde verilmektedir. Teorem 4.4'ü makaleden alıntıladım:

"Her bir genişlik genişliği veya NLC genişliği grafiği, en çok k × 2 k + 1 olan 3 dengeli bir genişlik genişliği veya NLC genişliği ifadesinin değeridir "$k$$k \times 2^{k+1}$

Buradaki yakalama, etiket sayısının dengelemede katlanarak artmasıdır. Klips genişliği için şu anda daha iyi bir sonuç bilinmemektedir. Aynı kağıt, sıra genişliği için sürekli sabit bir patlama ile benzer bir sonuç verir, ancak bu, işe yaramaz, çünkü klik genişliği ve sıra genişliği arasındaki fark en kötü durumda üstel olabilir.