Önemsiz grafik otomorfizmasına yaklaşmak?

Grafik otomorfizması, kenar setinde bir bijeksiyonu indükleyen grafik düğümlerinin permütasyonudur $E$ . Biçimsel olarak, bir permütasyon $f$ düğümleri, örneğin IFF $(u,v)\in E$ $(f(u),f(v))\in E$

Bir miktar permütasyon için ihlal edilen kenarı, kenar dışı olarak eşlenen kenar veya ön kenarı kenar olmayan kenar olarak tanımlayın.

Giriş : Sert olmayan bir grafik $G(V, E)$

Sorun : İhlal edilen kenarların sayısını en aza indiren (kimlik dışı) bir permütasyon bulun.

Minimum sayıda ihlal kenarına sahip (kimlik dışı) permütasyon bulmanın karmaşıklığı nedir? Sınırlı maksimum derece olan grafikler için sorun zor mu (bazı karmaşıklık varsayımları altında)? Örneğin, kübik grafikler için zor mu? $k$

Motivasyon: Sorun, grafik otomorfizm sorununun (GA) gevşemesidir. Girdi grafiği önemsiz olmayan bir otomorfizmaya sahip olabilir (örneğin rijit olmayan grafik). Yaklaşık bir otomorfizm (dolap permütasyonu) bulmak ne kadar zordur?

Düzenle 22 Nisan

Katı (asimetrik) bir grafikte sadece önemsiz bir otomorfizm vardır. Katı olmayan bir grafiğin bazı (sınırlı) simetrisi vardır ve simetrisine yaklaşmanın karmaşıklığını anlamak istiyorum.

— Muhammed El-Türkistan
kaynak

Sorun önemsiz, kimlik permütasyonu her zaman optimal.

— Jukka Suomela

@Jukka, Grafikte Otomorfizm probleminde önemsiz olmayan otomorfizm arıyoruz. Benzer şekilde, Burada kimlik permütasyonuyla ilgilenmiyorum.

— Mohammad Al-Turkistany

Aslında yanlış soruyu soruyor olabileceğinizi söylüyorum ... Belki motivasyonunuzu veya uygulamanızı söylemeniz yardımcı olabilir.

— Jukka Suomela

Sorun, grafik otomorfizm sorununun (GA) gevşemesidir. Girdi grafiği önemsiz olmayan bir otomorfizmaya sahip olabilir. Yaklaşık bir otomorfizm (dolap permütasyonu) bulmak ne kadar zordur?

— Mohammad Al-Turkistany

Gerçek optimal değerin sıfır olduğu rijit olmayan grafiklerle neden sınırlandığınızı anlamıyorum. Katı grafiklerde, yaklaşıklama faktörü daha ilginç olabilir.

— Derrick Stolee

Yanıtlar:

Motivasyonu çok iyi anlamıyorum. Ancak, ilgili bir soruya cevap vereyim. Özellik testi çerçevesinde size iki grafik ad ve bu iki parametreyi parametresine göre ayırt etmek istersiniz : $G$ $H$ $\epsilon$

ve izomorfiktir $G$ $H$
Gelen herhangi bir bijection için , en azından ilgili hata neden olur kenarları. $G$ $H$ $\epsilon \binom{n}{2}$

Karmaşıklık metriği, bitişiklik matrislerine probların sayısıdır ve amaç, yüksek olasılıklı iki vakayı, bir alt lineer prob sayısı kullanarak ayırt etmektir.

Eldar Fischer ve Arie Matsliah'ın ( teşekkürler, arnab ) SODA 2006'da tam olarak bu sorun hakkında bir makalesi var . Sorununuza doğrudan bağlı olmasa da, olası bir sorun formülasyonunun bir yolu olabilir ve hatta sizin için yararlı teknikler sağlayabilir.

— Suresh Venkat
kaynak

Gerçekten de, bu sorun da ilginç.

— Muhammed Al-Türkistan

Sadece bir düzeltme: bu makale Arie Matsliah ile ortaktır.

— arnab

Biz düşünürsek ve , aynı grafik olmak için, daha az olması garanti edilebilir herhangi bir köşe çift değiştirerek önemsiz olmayan bir permütasyon çarpışmalar. Bu den çok daha azdır .

G

$G$

H

$H$

2 n

$2n$

ϵ (\binom{n}{2})

$\epsilon{n\choose 2}$

— Derrick Stolee

Eugene Luks'un bir sonucu (" Sınırlı değerlik grafiklerinin izomorfizmi polinom zamanında test edilebilir ") sınırlı derece grafikler için grafik izomorfizmasının (veya otomorfizm) polinom zamanında olduğunu gösterir. Bu nedenle, katı olmayan kübik grafikler için bazı (kimliksiz, Jukka'nın işaret ettiği gibi) neredeyse otomorfizm arıyorsanız, Luks algoritmasını kullanabilir ve grafikte önemsiz olmayan bir otomorfizm alabiliriz.

— Ramprasad
kaynak

Makaleyi gözden kaçırdım ve anlayışım, sınırlı derece GA karar problemini polinom zamanında çözdüğü yönündedir. Sorum bir optimizasyon problemi. Ayrıca, katı grafikleri hariç tutamazsınız.

— Mohammad Al-Turkistany