Monoton-2CNF formüllerinin sayım çözeltileri

Bir Monoton-2CNF formülü, her bir maddenin tam olarak 2 pozitif değişmezden oluştuğu bir CNF formülüdür.

Şimdi, bir Monoton-2CNF formülü . , tatmin edici ödevleri kümesi olsun . Ayrıca aşağıdaki bilgileri verebilen bir kehanet var:$F$$S$$F$$O$

1. Set kardinalitesi (yani çözelti sayısı ).$S$$F$
2. değişkeni verildiğinde : $x$
   • pozitif değişmez değeri içeren çözelti sayısı .$S$$x$
   • negatif değişmez değeri içeren çözümlerin sayısı .$S$$\lnot x$
3. ve değişkenleri verildi : $x_1$$x_2$
   • içeren çözümlerin sayısı .$S$$x_1 \land x_2$
   • içeren çözümlerin sayısı .$S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • içeren çözümlerin sayısı .$S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • içeren çözümlerin sayısı .$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

Oracle "sınırlı" olduğuna dikkat edin : sadece çalışır , formülünde kullanılamaz .$O$$F$$F' \neq F$

Soru:

3 değişkenler göz önüne alındığında , , bu solüsyonlar sayısını belirlemek mümkündür içeren polinom zaman kullanarak ve sağladığı bilgileri ?$x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

Not:

Sen değiştirebilirsiniz ne olursa olsun başka 8 olası kombinasyonları ile söz konusu , , . Sorun aynı kalacaktı.$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

Ampirik gerçek:

Bir hafta önce aşağıdaki ampirik gerçeğe rastladım. Let olduğu ihtiva eden çözeltilerin grubu ve izin içeren çözümler kümesi . Şimdi, koşul geçerli olması durumunda , bu ilişkinin de geçerli olduğu görülmektedir: burada altın oran. Koşul şu şekilde gözüküyor: " ,$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$

$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$ , belirtilen "kez neredeyse aynı sayıda$x_3$$F$ .

Bu ampirik gerçeği kullanmak için, yaklaşık sayıların başkalarına yaklaşık sayı verip vermeyeceğini gerçekten bilmek istersiniz. Ama tam olarak, bunun zor olduğunu göstermenin basit bir yolu olabileceğini düşünüyorum. İşte bir taslak.

İlk olarak, tatmin edici ödevlerin grafikteki bağımsız kümelere karşılık geldiğine dikkat edin. ile bağımsız küme sayısı ile eşleştirmek için "I (G) 'nin S-projeksiyonları" ifadesini kullanacağım . "K-çıkıntıları", V'nin tüm alt kümeleri için ile S-çıkıntılarıdır .$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

Kanıt anahat:

1. 2-izdüşümler 3-izdüşüm verirse, her bir k için çoklu-zamanda k-izdüşümü verir.
2. 2-projeksiyon 4-projeksiyon veriyorsa, bir grafiğin bağımsız kümelerinin sayısı FP'dir, bu yüzden FP = # P'dir.

(1) (k-1) k-projeksiyonu verecek şekilde . Bir grafik, k-projeksiyonları ve projeksiyonları üzerine hesaplayacağız .$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

Grafiği tanımla v taze bir köşe takılarak. Bu v ağırlıklandırma olarak görülebilir. (K-1) -projections hesaplanabilir biz G. So k-projeksiyonları biliyorum çünkü o zaman var nin k-izdüşümleri . Bu da verir .$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

Bir grafiktir Verilen (2), kenarları sipariş ve tanımlamak kenarlara sahip . 2-çıkıntılar 4-çıkıntılar hesaplanabilir . Bağımsız set sayısı olan . Yinelemeli olarak G'nin 4 izdüşümü polinom zamanında hesaplanabilir.${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

Bazı gözlemler, cevap değil.

Sorunun notuna ek olarak, 3 değişmezden oluşan herhangi bir kombinasyon, kâhin sağlayabileceği az sayıda terimle birlikte, aynı değişkenler üzerindeki diğer değişmez değerler kombinasyonu olarak ifade edilebilir. Bu, 3 kesişen kümenin Venn diyagramına bakılması ve 8 bölgenin her birinin diğer bölgeler açısından ifade edilmesinden kaynaklanmaktadır. Bunun, formülün monoton veya 2CNF olmasını gerektirmediğini unutmayın.

Ayrıca, herhangi bir 3-literal konjonktürü karşılayan çözüm sayısının , her biri 0 veya 1 olan teriminin toplamı olarak ifade edilebileceği açıktır. Bunların her biri doğrusal zamanda değerlendirilebilir, ancak üstel olarak değerlendirilecek birçok terim vardır, bu nedenle bu gereksinimleri karşılamamaktadır.$2^{n-3}$

Dolayısıyla soru, bu üstel boyut ifadesini polinom boyutuna sıkıştırmak için monoton 2CNF olma özelliğinden yararlanmanın mümkün olup olmadığıyla ilgilidir.

Daha basit bir soruya bakmaya çalıştım, tek veya çift değişmez kombinasyonlar için sayılar mevcut olmadığında, kehaneti sadece çözüm sayısı ile bir tavsiye dizesiyle sınırlandırdım. Herhangi bir hazır bilgi ile ilgili çözüm sayısının hızlı bir şekilde hesaplanmasını sağlamak için çözüm sayısı bilgisinden faydalanmanın bir yolunu göremiyorum.

İçinde çözümlerin sayısını sağlayacak monoton 2CNF hakkında orada bir şey mi içeren hızla elde edilecek bir bilselerdi?$S$$x_1$$|S|$