İyi karakterizasyonlu, ancak polinom-zaman algoritması olmayan optimizasyon problemleri

Aşağıdaki formun optimizasyon problemlerini düşünün. bir dizesini rasyonel bir sayıyla eşleştiren polinom-zaman hesaplanabilir bir işlevi olmasına izin verin . Optimizasyon sorunu şudur: -bit dizgileri üzerindeki maksimum değeri nedir?x f ( x ) n $f(x)$$x$$f(x)$$n$$x$

Diyelim ki, böyle bir problemin minimax karakterizasyonu olduğunu varsayalım , eğer başka bir polinom-zaman hesaplanabilir fonksiyonu , . Burada tüm n- bit dizgileri üzerinden geçiyor ve y tüm m -bit dizgileri üzerinden geçiyor ; n ve m farklı olabilir, ancak polinomla ilişkilidir.maksimum x f ( x ) = min y g ( y ) x n y m n $g$

Çok sayıda doğal ve önemli optimizasyon problemi gibi minimax karakterizasyonuna sahiptir. Birkaç örnek (karakterizasyonların dayandığı teoremler parantez içinde gösterilmiştir):

Doğrusal Programlama (LP Dualite Thm), Maksimum Akış (En Akış Min Kesme Thm), Max İkili Eşleştirme (Konig-Hall Thm), Max Olmayan İkili Eşleştirme (Tutte en Thm, Tutte-Berge formülü), yönlendirilmiş grafikte Max Ayrık Arborescences ( Edmond's Disjoint Branching Thm), Yönlendirilmemiş grafikte Max Spanning Tree Paketleme (Tutt's Tree Paketleme Thm), Ormanlar ile Min Kaplama (Nash-Williams Thm), Max Yönlendirilmiş Kesim Ambalaj (Lucchesi-Younger Thm), Max 2-Matroid Kavşağı (Matroid Kavşağı Thm), Max Ayrık Yollar (Menger's Thm), Kısmi Sıralı Sette (Dilworth Thm) Max Antichain ve diğerleri.

Tüm bu örneklerde, optimum olanı bulmak için bir polinom-zaman algoritması da mevcuttur. Benim sorum:

Şu ana kadar herhangi bir polinom-zaman algoritması bulunmayan minimax karakterizasyonunda herhangi bir optimizasyon problemi var mı?

Not: Doğrusal Programlama yaklaşık 30 yıl boyunca bu durumdaydı!

Bazı teknik anlamda olup olmadığını . Varsayalım ki bu şekilde poli-zaman vardır ve böylece IFF ve IFF . takdirde ve ise bir minmax karakterizasyonu olarak yeniden yapılabilir ; ise ve . Şimdi gerçekten de .L ∈ N P ∩ c O , N P E G x ∈ L ∃ y : F ( x , y ) x ∉ L ∃ y : G ( x , y ) f X ( y ) = 1 F ( x , y ) f x ( $P = NP \cap coNP$$L \in NP \cap coNP$$F$$G$$x \in L$$\exists y: F(x,y)$$x \not\in L$$\exists y: G(x,y)$$f_x(y) = 1$$F(x,y)$$f_x(y) = 0$$g_x(y) = 0$$G(x,y)$$g_x(y) = 1$$max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

Yani bu anlamda, bilinen herhangi bir sorun olması ama olmak bilinmemektedir sorunuzun cevabını dönüştürülebilir. Örneğin Faktoring (diyelim, ister kararı versiyonu 'büyük faktörün inci biti 1 ise).$NP \cap coNP$$P$$i$

Seymour ve Thomas , minimum genişlikte treewid karakterizasyonu gösterdiler. Ancak, ağaç genişliği NP-zordur. Bununla birlikte, bu tam olarak istediğiniz tür bir karakterizasyon değildir, çünkü ikili fonksiyonu kısa bir sertifikanın polinom zamanı hesaplanabilir bir fonksiyonu değildir. NP büyük olasılıkla bu sorunlardan kaçınılmazdır, çünkü aksi halde coNP'de NP-tamamlanmış bir problemimiz olur, bu da çöküş NP = coNP'yi gösterir ve tam olarak şok edici olduğunu düşünürdüm.$g$

Treewidth bir grafik bir ağaç ayrışma küçük küçük genişliğine eşittir G . Bir grafik bir ağaç ayrışma G, bir ağaç , T , her köşe şekilde X ve T bir dizi ile etiketlenir S ( x ) tepe kısmının G özelliği ile:$G$$G$$G$$T$$x$$T$$S(x)$$G$

1. Tüm , | S ( x ) | ≤ k + 1 .$x \in V(T)$$|S(x)| \leq k+1$
2. Tüm nin birleşimi , G'nin tepe kümesidir .$S(x)$$G$
3. Her için, u ∈ S ( x ) ' in bağlı olduğu tüm x tarafından indüklenen T alt yazısı .$u \in V(G)$$T$$x$$u \in S(x)$
4. Her kenar , x ∈ V ( T ) için bazı S ( x ) 'in alt kümesidir .$(u, v) \in E(G)$$S(x)$$x \in V(T)$

Seymour ve Thomas bu treewidth eşittir gösterdi dikenli sayıda bir en: k yönelik bağlı Alt Graflar koleksiyonu olduğu şekilde G , böylece:$G$$k$$G$

1. Her iki alt yazı da kesişiyor veya bir kenar ile birbirine bağlı.
2. Hiçbir seti köşe G tüm subgraphs vurur.$k$$G$

Böyle bir alt yazı koleksiyonuna, k sınıfı bir bramble denir.$k$

Bildirim "en azından böğürtlen sayı nasıl bir üründür" ∃ ∀ üzerinde katlanarak her iki Nicelik büyük setleri ile ifadesi. Bu nedenle, sertifikayı doğrulaması kolay değildir (ve yukarıda söylediğim gibi gerçekten büyük haberler olacak bir tane varsa). Daha da kötü şeyler yapmak için, Grohe ve Marks her için olduğunu gösterdi k bir grafik var treewidth k düzenin herhangi bramble en azından böyle k 1 / 2 + ε katlanarak birçok Alt Graflar oluşmalıdır. Onlar da düzenin böğürtlenleri varlığını göstereceğiz k 1 / 2 / Ç ( log $k$$\exists\forall$$k$$k$$k^{1/2 + \epsilon}$ polinom büyüklüğünde.$k^{1/2}/O(\log^2 k)$

Parite oyunları, Ortalama kazançlı oyunlar, İndirimli oyunlar ve Basit Stokastik oyunlar bu kategoriye girer.

Hepsi, oyuncuların köşeleri kontrol ettiği ve bir jetonun daha sonra nereye gideceğini seçtiği grafiklerde oynanan, sonsuz iki oyunculu sıfır toplamlı oyunlardır. Hepsinin hafızasız pozisyon stratejilerinde dengeleri vardır, bu da her oyuncunun her seçim noktasında belirleyici bir biçimde ve oyun tarihine bakılmaksızın bir kenarı seçtiği anlamına gelir. Bir oyuncunun stratejisi göz önüne alındığında, diğer oyuncunun en iyi yanıtı polinom zamanında hesaplanabilir ve ihtiyaç duyduğunuz minimum-maksimum ilişki oyunun "değeri" için geçerlidir.

Bu sorunların doğal karar varyantları NP ve yardımcı NP (gerçekten YUKARI ve yardımcı UP) ve bir denge bulmak için işlev problemlerinde, PLS ve PPAD'da yatmaktadır.

En iyi bilinen çalışma süresine sahip algoritmalar alt üstel, fakat süper polinomdur (ör. , buradanoyun grafiğindeki köşelerin sayısıdır).$O(n^\sqrt{n})$$n$

Örneğin, bakınız

David S. Johnson. 2007. NP eksiksizlik sütunu: Samanlıkta iğneleri bulma ACM Trans. Algoritmalar 3, 2, Madde 24 (Mayıs 2007). DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247