Ağırlıksız grafiklerde kolay, ancak ağırlıklı grafikler için zor olan sorunlar

Birçok algoritmik grafik problemi hem ağırlıklı hem de ağırlıklı grafiklerde polinom zamanında çözülebilir. Bazı örnekler; belirli grafik sınıflarında, çeşitli maksimum ayrık yol problemlerinde, vb.

İçinde polinom zamanda çözülebilir bazı (önemli ölçüde muhtemelen rağmen daha az) sorunları, ancak, vardır ağırlıksız durumda, ama sert hale (veya açık statüye sahip) içinde ağırlıklı durumda. İşte iki örnek:

1. Verilen $n$ -vertex tam grafik ve bir tam sayı $k\geq 1$ , bir kapsayan bulmak $k$ kenarların minimum sayıda -connected alt grafiğinin. Bu, en uygun grafiklerin yapısını anlatan bir F. Harary teoremi kullanılarak polinom zamanında çözülebilir. Öte yandan, eğer kenarlar ağırlıklandırılmışsa, o zaman minimum $k$alt ağırlığı bulmak $NP$ hard'dur.

2. S. Chechik, MP Johnson, M. parter ve D. Peleg A (2012 Aralık) son kağıt (bkz http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ), diğer şeylerin yanında, bir yol kabul sorunu onlar Minimum Pozlama Yolu arayın . Yolda düğüm sayısı, öyle ki iki Belirtilen düğümler arasında bir yol için İşte bir görünüm artı yolundaki bir komşum var düğüm sayısı minimumdur. Sınırlı dereceli grafiklerde bunun , ağırlıklı olmayan durum için polinom zamanında çözülebileceğini, ancak ağırlıklı durumda 4 dereceli sınırda olsa bile, ağırlıklı olarak $NP$ sert hale geldiğini ispatladılar. (Not: Referans, ne olduğu sorusuna cevap olarak bulundu. Bu problemin karmaşıklığı nedir? )

Bu yapının diğer ilginç problemleri nelerdir, yani ağırlıklı versiyona geçmek bir "karmaşıklık atlamasına" neden oluyor?

Yaklaşım algoritmaları dünyasında, yoğunlaştırılmış tepe örtüsü örtme sorunu vardır. Verilen ve tamsayı kapasiteleri C ( v ) her biri için v ∈ V hedefi için bir minimum boyutlu tepe kapağı bulmaktır G kapsamındaki kenarlarının sayısı burada v en olduğu c ( h ) . Bu problem, ağırlıklandırılmamış durumda sabit bir faktör yaklaşımına sahiptir (yani, tepe kapağının boyutunu küçültmek istiyoruz), Ω ( log n ) -hard ($G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$$P = NP$) Ağırlıklı durumda (her tepe noktası ağırlığına sahiptir ve kapağın ağırlığını en aza indirmek istiyoruz).$w(v)$

En sevdiğim örnek bağımsız baskınlık problemidir (grafik ve tamsayı k verildiğinde , G'nin en fazla k köşeli bir dahil etme-maksimum bağımsız kümesi var mı?). Martin Farber ( buraya bakınız ) nedeniyle güzel bir sonuç , ağırlıksız sürüm korina grafiklerde polinom olarak çözülebilir. Gerard Chang, ağırlıklı sürümün koror grafikleri için NP tamamlanmış olduğunu kanıtladı ( buraya bakın ).$G$$k$$G$$k$

Bipartit grafiklerde mükemmel eşleme problemi olan ise ikili grafik gerçek ağırlığı ile mükemmel uyum olan N P -Komple .$P$$NP$

Muhammed Al-Turkistany'nin cevabını takiben, çoğu zaman polinom zamanla çözülebilen ağırlıksız problemlerin , ağırlıklı davada kompletine çevrilebileceği anlaşılıyor.$NP$ tam olarak verilen . Bunun nedeni, bu, Alt Küme Toplamı Problemini dikkate alınan göreve kodlamaya izin vermesidir.

Örneğin, Tam Ağırlık Mükemmel Eşleştirme durumunda, belirli bir eşleşmenin kenarlarına verilen ağırlıkları ve diğer tüm kenarlara 0 ağırlık atanan girdi olarak tam bir çift taraflı grafik alabiliriz. Tam olarak bu ağırlıklı grafik ağırlığının bir tam bir uyum olduğunu görmek kolaydır ağırlıkları bir alt kümesi olduğu toplamları tam olarak var, ancak ve ancak, eğer W . (Eğer böyle bir alt küme varsa, o zaman karşılık gelen kenarları sabit eşleştirmeden alabilir ve onu 0-ağırlıklı kenarlarla mükemmel bir eşleşmeye çıkararak, bunun tam bir çift taraflı grafik olduğunu kullanarak çıkarabiliriz.) aynı zamanda başka problemler için de çalışabilir.$W$$W$

Grafik Dengeleme (Min. Dışa Yönelim Yönü olarak da bilinir) bu fenomenin bir başka örneğidir. Bu problemde yönlendirilmemiş kenar ağırlıklı bir grafik verilmiştir. Amaç, kenarları yönlendirmek ve sonuçta ortaya çıkan digrafın (ağırlıklı) maksimum dış derecesini en aza indirgemektir.

Sorun genellikle bir zamanlama senaryosuyla motive edilir. Her tepe noktasının bir işlemci ve her kenarın yalnızca iki uç noktasından birinde çalışmasına izin verilen bir iş olduğunu hayal edin. Bir kenarın ağırlığı, ilgili işin uzunluğudur ve amaç, üretim bandını en aza indirmektir.

Sorun, tüm ağırlıklar 1 veya 2 olsa bile NP ve APX-zorudur (bkz. Ebenlendr ve diğerleri. "Grafik dengeleme: SODA 2008'de ilgisiz paralel makinelerin planlanması için özel bir durum"). Bununla birlikte, ağırlıklandırılmamış grafikler için P'dir (bakınız Asahiro ve ark. "Grafik sınıfları ve grafik oryantasyonunun karmaşıklığı, CATS 2008'de maksimum ağırlıklı aşımı minimuma indirir").

Belki bu sadece önemsiz bir örnektir ve bunun kötü bir durum olduğunu düşünebilirsiniz, ancak aklıma ilk gelen örnek Gezgin Satıcısı Sorunu'dur (genellikle grafiğin tamamlandığı varsayılır). Ağırlıksız versiyonun, tam grafikler için önemsiz olan Hamiltonian Cycle olduğunu unutmayın.

Minimum maliyet yolunu gecikme kısıtı altında (aka Sınırlı En Kısa Yol sorunu) bulmak buraya sığacak gibi görünüyor.

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$ .

Sorun minimum maliyeti bulmak. $s-t$ path, such that the delay of the path no more than $D$.

If the problem is unweighted ($\forall v\in V:d(v) =1$, a.k.a $hop-count$), the problem is trivial (given as homework in basic algo courses sometimes).

If the problem is weighted, it becomes the Constrained Shortest Path, which is known to be NP-complete even on DAGs.

The problem Local Max Cut with the FLIP neighbourhood is PLS-complete in general integer-weighted graphs.

A.A. Schaeffer and M. Yannakakis. (1991). Simple local search problems that are hard to solve. SIAM Journal on Computing, 20(1):56-87.

Bununla birlikte, eğer en büyük ağırlık grafiğin boyutunda polinom ise, potansiyelde yapılan yerel iyileştirmeler (bir kesimin ağırlığı) polinom zaman içinde birleşecektir, çünkü her bir gelişme potansiyel fonksiyonu en az bir oranında ve potansiyel fonksiyonu arttıracaktır. polinom bağlı. (Genel ağırlıklar ile, belirli bir başlangıç ​​kesiminden yerel iyileştirmelerle ulaşılabilir bir çözüm bulmak PSPACE tamamlandı.)

Benzer bir şey diğer "potansiyel oyunlarda" da olur.

Seyahat eden satıcı, satılan ızgara grafiklerinde açıktır, ancak Hamilton döngüsünün (ağırlıksız değişken) polinom olduğu bilinmektedir.

Her ikisi de açık problemler projesinde tartışılması:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

On 2K_1-free Maximum cut is polynomial and Weighted maximum cut is NP-complete.