Hesaplamalı geometride araştırmacıların BSS / real-RAM modelini tercih etmelerinin sebepleri nelerdir?

Arka fon

Gerçek sayılarla yapılan hesaplama, doğal sayılarla yapılan hesaplamaya göre daha karmaşıktır, çünkü gerçek sayılar sonsuz nesnelerdir ve sayılamayan çok sayıda gerçek sayılar vardır, bu nedenle gerçek sayılar sonlu dizilerle sonlu bir alfabe üzerinde sadık bir şekilde gösterilemez.

Farklı hesaplama modellerinin: lambda matematiği, Turing makineleri, özyinelemeli fonksiyonlar,… gibi eşdeğer olduğu sonlu dizgelere göre klasik hesaplanabilirliğin aksine, en azından dizgilerdeki fonksiyonlar üzerinde hesaplanabilirlik için, hesap için önerilen çeşitli modeller vardır. uyumlu olmayan gerçek sayılar. Örneğin , klasik Turing makine modeline en yakın olan TTE modelinde (ayrıca [Wei00] 'e bakınız), gerçek sayılar sonsuz giriş bantları kullanılarak (Turing'in uçları gibi) temsil edilir ve karşılaştırmaya karar vermek mümkün değildir. verilen iki gerçek sayılar arasındaki eşitlik ilişkileri (sonlu miktarda). Diğer yandan, RAM makine modeline benzeyen BBS / real-RAM modellerinderastgele gerçek sayıları depolayabilen değişkenlere sahibiz ve karşılaştırma ve eşitlik modelin atomik işlemleri arasındadır. Bu ve benzeri nedenlerden dolayı, birçok uzman BSS / real-RAM modellerinin gerçekçi olmadığını (en azından şu andaki dijital bilgisayarlarda uygulanamaz) olduğunu söyler ve TTE veya diğer eşdeğer modelleri TTE yerine etkili alan teorik modelini tercih eder. Ko-Friedman modeli vb.

Eğer Doğru anlaşılır , kullanılan hesaplama varsayılan model Computational Geometry olan BSS (aka gerçek RAM modeli [BCSS98] bakınız).

Öte yandan, Bana göre Hesaplamalı Geometri'deki algoritmaların uygulanmasında (örn. LEDA ), sadece cebirsel sayılarla ilgileniyoruz ve daha yüksek tip sonsuz nesneler veya hesaplamalar yapmıyoruz (bu doğru mu?). Bu yüzden bana (muhtemelen naif olarak) birinin bu sayılarla uğraşmak için sonlu dizgiler üzerinden klasik hesaplama modelini kullanabildiği ve doğruluk ve karmaşıklığı tartışmak için normal hesaplama modelini (algoritmaların uygulanmasında da kullanılan) kullanabileceği anlaşılıyor. algoritmaların

Sorular:

Hesaplamalı Geometri'deki araştırmacıların BSS / real-RAM modelini kullanmayı tercih etme nedenleri nelerdir? (BSS / real-RAM modelini kullanmak için belirli Hesaplama Geometrisinin nedenleri)

Önceki paragrafta bahsettiğim (muhtemelen naif) fikirdeki problemler nelerdir? (Klasik hesaplama modelini kullanmak ve girdileri Hesaplamalı Geometri'deki cebirsel sayılarla sınırlandırmak)

Zeyilname:

Algoritmalar sorununun karmaşıklığı da vardır, BSS / real-RAM modelinde aşağıdaki soruna karar vermek çok kolaydır:

$S$$T$
$\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t}$

Etkin bir tamsayı-RAM algoritması çözülmezken bilinmemektedir. Örnek için JeffE'ye teşekkürler.

Referanslar:

1. Lenore Blum, Felipe Cucker, Michael Shub ve Stephen Smale, "Karmaşıklık ve Gerçek Hesaplama", 1998
2. Klaus Weihrauch, " Hesaplamalı Analiz, Bir Giriş ", 2000

Her şeyden önce, hesaplama geometrileri BSS modeli olarak düşünmez. Asıl RAM modeli, Michael Shamos tarafından 1978 Doktora tezinde ( Hesaplamalı Geometri ) tartışılmaya başlandı. Franco Preparata, Shamos'un tezini 1985'te yayımlanan ilk hesaplama geometrisi ders kitabında yeniden gözden geçirdi ve genişletti. Gerçek RAM, Ben-Or tarafından 1983'te tanımlanan cebirsel hesaplama ağacı modeline de eşit ( tekdüzelik hariç; bkz. Pascal'ın cevabı! ) . , Shub ve Smale'nin çabaları, gerçek RAM kurulduktan hemen sonra 1989'da yayınlandı ve hesaplama geometrisi topluluğu tarafından neredeyse tamamen göz ardı edildi.

Hesaplama geometrisindeki çoğu (klasik) sonuç, kombinatoryal geometrideki konulara büyük ölçüde bağlıdır , bunun için koordinatların integral veya cebirsel olduğu varsayımları (en iyi ihtimalle) alakasız distraksiyonlardır. Bir yerli olarak konuşursak, kendileri hakkında bir şeyler kanıtlarken keyfi noktaları, çizgileri, daireleri ve benzerlerini birinci sınıf nesneler olarak düşünmek tamamen doğal ve bu nedenle de onlarla hesaplanacak algoritmaları tasarlarken ve analiz ederken eşit derecede doğal görünüyor.

$p$$q$$q$$r$$q,r,s$$qr$$st$? Bu ilkellerin her biri, girdi koordinatlarında düşük dereceli bir polinomun işareti değerlendirilerek uygulanır. (Bu algoritmalar daha zayıf cebirsel karar ağacı modelinde tanımlanabilir.) Girdi koordinatları tamsayılar ise, bu ilkeller kesin olarak sadece sabit faktör artışıyla ve böylece gerçek RAM ve gerçek çalışma sürelerinde tam olarak değerlendirilebilir. tamsayı RAM aynıdır.

Benzer nedenlerden dolayı, çoğu kişi algoritmaları sıralamayı düşünürken , veriler tamamen sıralı bir evrenden geldiği ve herhangi iki değerin sabit bir zamanda karşılaştırılabildiği sürece ne sıraladıkları umursamıyorlar .

Böylece topluluk, “gerçek” geometrik algoritmaların tasarımı ile pratik uygulamaları arasında kaygılar ayırdı; dolayısıyla LEDA ve CGAL gibi paketlerin geliştirilmesi. Kesin hesaplama üzerinde çalışan insanlar için bile , temel modelin bir parçası olarak tam olarak gerçek aritmetik kullanan gerçek algoritma ile ayrık hesaplama kullanmak için fiziksel hesaplama cihazlarının başka türlü ilgisiz sınırlamaları ile zorlanan uygulama arasında bir ayrım vardır .

$\times$

Gerçekten cebirsel temeline dayanmaktadır do birkaç geometrik algoritmalar vardır hesaplama nedenle ağaç modeli ve olamaz fiziksel bilgisayarlarda tam ve etkin bir şekilde uygulanacaktır. İyi bir örnek, gerçek bir RAM'de doğrusal zamanda hesaplanabilen basit poligonlardaki minimum bağlantı yollarıdır, ancak en kötü durumda tam anlamıyla temsil etmek için ikinci dereceden bir bit gerektirir . Bir başka güzel örnek, Chazelle'in simpleks seri arama için bilinen en verimli algoritmalarda kullanılan hiyerarşik kesimlerdir.. Bu kesimler, her seviyedeki üçgenlerin köşelerinin önceki seviyelerdeki üçgenlerin kenarlarından geçen çizgilerin kesişme noktaları olduğu bir hiyerarşi kümesi kümesi kullanır. Bu nedenle, giriş koordinatları tamsayılar olsa bile, bu üçgenler için köşe koordinatları, sınırlanmamış derecenin cebirsel sayılarıdır; Bununla birlikte, kesimleri oluşturmak ve kullanmak için olan algoritmalar, koordinatların tam olarak sabit bir zamanda manipüle edilebileceğini varsayar.

Yani benim kişisel önyargılı kısa cevabım şudur: TTE, etki alanı teorisi, Ko-Friedman ve diğer “gerçekçi” gerçek sayı hesaplama modelleri, hesaplama geometrisi topluluğunun genel olarak umursamadığı konulara değiniyor. .

Gerçek RAM / BSS modelinin cebirsel hesaplama ağacı modeline eşdeğer olduğu doğru değildir. İkincisi daha güçlüdür çünkü polinom derinlik ağacı üssel olabilir. Bu, tek tip olmayan bilgileri kodlamak için çok yer sağlar. Örneğin, Meyer auf der Heide, cebirsel (hatta doğrusal) karar ağaçlarının, alt küme toplamı gibi zorlu problemleri çözebileceğini göstermiştir, ancak bu, gerçek RAM / BSS modelinde (varsayımsal olarak) imkansızdır.

Jeff'in mükemmel cevabı üzerine bir yorum:

Doğrusal programlama algoritmalarının karmaşıklık aralığını (kombinasyonlu ve sürekli) ele almak için koşul, yaklaşıklık ve yuvarlama kavramları önerildi. Bir problem vakasının koşulu, girdideki küçük bozulmaların çıktının doğruluğu üzerindeki etkisini tahmin eder. Koşul kavramı ilk olarak Alan Turing tarafından tanıtıldı. Jim Renegar, doğrusal bir programın durum kavramını ortaya koydu.

L. Blum Reals üzerinde Computing: Turing Newton Toplandı, , AMS, cilt 51, sayı 9, (2004), 1024-1034 bildirimlerine

A. TURING, Matris işlemlerinde yuvarlama hataları, Quart. J. Mech. Baş. Matematik. 1 (1948), 287–308

J. RENEGAR, Doğrusal programlamanın karmaşıklık teorisine koşul sayılarının dahil edilmesi, SIAM J. Optim. 5 (1995), 506-524

F. CUCKER ve J. PEÑA, Çok kesitli konik sistemlerin sonlu hassasiyetli bir makine ile çözülmesi için ilk-ikili algoritma, Optimizasyon 12 (SIAM Journal 12) (2002), 522-554.