Her bağımsız setteki renk sayısını en aza indiren grafik boyama

11

Aşağıdaki iddia biliniyor mu?

Talep : köşesi olan herhangi bir grafiği için , her bağımsız kümenin en fazla renkle renklendirileceği bir rengi vardır. $G$ $n$ $G$ $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— Igor Shinkar
kaynak

11

Aşağıdaki iddia benim için biliniyor, ancak sayılmayabilir çünkü yayınlanmamıştır: köşelerinde herhangi bir grafik renklendirilebilir, böylece en fazla kromatik sayının indüklenmiş alt satırı en çok renklerini kullanır, burada . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

Bu, tümevarımın bir kanıtıdır; motivasyon, sadece grafikte değil tüm indüklenmiş altgraflarda da çok az renk kullanan renklendirmelerdi. Yine de yayınlanan sonuçların farkında değilim.

— Aravınd
kaynak

10

Biraz senin için sorun, ama burada daha düşük bağlanmış ne - Herhangi bir renklendirme ile renklendirilmiş bağımsız sette sonuçlanacak bir grafik $\sqrt{n}$ renkler:

almak kopyası $\sqrt{n}$ ve tüm köşeleri tek bir tepe noktasına bağlayın $K_{\sqrt{n}}$ . $s$

Açıkçası, her set farklı gelen köşe'nın bağımsızdır ve her kopyasında $\sqrt{n}$ $K$ $K_{\sqrt{n}}$ En az bir "yeni" renk bulabilirsiniz.

Bu alt sınır kolayca geliştirilebilir bağlarsak kadartek bir tepe noktasına, ancak sadece $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ renkler. $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
kaynak

İkinci örnek sınırın geliştiği görülmemektedir. Ben herhangi bir IS kullanılarak renklendirilmiş edilebileceğini düşünüyorum

. Örneğin, n = 9,

, mavi ile renklendirilir

yeşil ve kırmızı, tarafından

mavi, yeşil ve kırmızı ile. Herhangi bir maksimum IS 3 değil 2 renkle renklendirilir.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

Neyi kastettiğinden emin değilim. İkinci örnek, sınırı geliştirir, ancak asemptolojik olarak geliştirmez. Bir ~

inşa edebilirsiniz.

dan köşe kullanarak IS renkli ölçekli

, den tepe

farklı renk ile, vb (dan

şimdiye kadarki en DİR bulunmayan bir renkle renklendirilmiş bir köşe alacağım). Ve bu,

her rengi için geçerlidir.

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— RB

Ayrıca, örnekte, mavi köşe içeren IS

, yeşil

ve kırmızı

3 renkte renklendirilmiştir.

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— RB

1

@RB örnek için teşekkür ederim. ikinci grafiğiniz kabaca bir alt sınır verir

, bu sayı

.

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— Igor Shinkar

5

Aşağıdaki kanıt ne olacak? Eğer , sonra iddia açık bir şekilde geçerlidir. Aksine varsayalım ve izinbağımsız bir kümesi, maksimum önem düzeyi ile. Renklirengi 1 ve ardışık renk grafiği ilerenklerle. Şimdi, eğerbağımsız kümesidir, düşünün. İndüksiyon hipotezi ileen çok ile renklendirilir. $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ renkleri ve böyleceen fazlaile renklendirilir $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ renk; eşitsizlik $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ . $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Süper 8
kaynak

1

, ancak bu kanıtı muhtemelen herhangi için olduğunu göstermek için değiştirilebilir

herhangi en fazla renklenir IS

1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

renkler. Her durumda, bu bir referans isteği, kanıt talebi değildir.

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

— user15669

1

Gerçekten de, kanıt

ile

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

. "Referans isteği" bölümünü kaçırdığınız için özür dilerim, ancak bu sonuç folklor olarak değerlendirilmemeli mi? BTW, yukarıdakiyle aynı kişiyim ancak farklı profillerimi birleştirmek için bir yol bulmam gerekiyor, muhtemelen meta.cstheory.stackexchange'te bunu sormalıyım.

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

— Super0

(profil birleştirme isteğinde) meta, böyle bir istek göndermek için iyi bir yerdir.

— Suresh Venkat