Bir grafiğin kenar kapaklarının sayısını saymanın karmaşıklığı

Bir kenar kapak grafiğin her tepe kapağı en az bir kenarına bitişik olacak şekilde bir grafik kenarlarının bir alt kümesidir. Aşağıdaki iki makale, sayma kenarı kapaklarının # P -complete olduğunu söylüyor : Kenar Kapaklarını Saymak ve Yol Grafiklerinin Kenar Kapaklarını Oluşturmak için Basit Bir FPTAS . Ancak, bir şeyi kaçırmadıkça, bu iddia için bir referans veya bir kanıt sağlamazlar. (İlk makalenin 3. referansı umut vericiydi, ama orada ne istediğimi de bulamadım.)

Bir grafiğin kenar kapaklarının sayısını saymanın # P-complete olduğuna dair bir referans veya kanıt nerede bulabilirim?

Bunun ilk kanıtlandığı yeri bilmiyorum, ancak EdgeCover Boole etki alanı Holant sorunu olarak bir ifadeye sahip olduğundan, birçok Holant ikilemi teoremine dahil edildi.

EdgeCover (1) 'deki ikilik teoremine dahil edilmiştir. Teorem 6.2 (günlük sürümünde veya baskı öncesi Teorem 6.1'de), EdgeCover'ın düzlemsel 3-düzenli grafiklere göre # P-sert olduğunu gösterir. Bunu görmek için, 3 düzenli grafikte bir Holant problemi olarak EdgeCover ifadesi (veya [ 0 , 1 , 1 , 1 ] yerine [ 0 , 1 , … , 1 ] içeren k boyunca aynı sorun için 1'ler $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$$[0,1,1,1]$$[0,1,\dotsc,1]$$k$$k$-düzenli grafikler). Bu gösterimi , giriş Hamming ağırlığı sırasına göre simetrik bir işlevin çıktısını listeler . (Biz 1 tahsis edilir ve tamamlayıcı grubu 0 tahsis edilmiş olarak düşünmek) grubu kenarlarının bir alt kümesi için, her bir köşenin de kısıtlama en az bir kenarı tam olarak işlevi olan, 1 atanır olmasıdır [ 0 , 1 , 1 , 1 ] . Sabit bir kenar alt kümesi için ağırlığı [ 0 , 1 , 1 , 1 ] çıktılarının çarpımıdır$[0,1,1,1]$$[0,1,1,1]$$[0,1,1,1]$her tepe noktasında. Herhangi bir tepe noktası kapsanmazsa, faktörüne katkıda bulunur . Tüm köşeler kaplanmışsa, tüm köşeler 1 faktörüne katkıda bulunur , bu nedenle ağırlık da 1'dir . Daha sonra Holant, olası her kenar alt kümesini toplamalı ve her alt kümeye karşılık gelen ağırlığı eklemelidir. Her bir kenarı alt bölümlere ayırır ve bu yeni köşelere gelen her iki kenarın da eşit olması zorunluluğunu uygularsak, bu Holant değeri tamamen aynıdır. Simetrik fonksiyon gösterimini kullanarak, bu ikili eşitlik fonksiyonu [ 1 , 0 , 1 ] 'dir . Bu grafik iki taraflıdır. Bir kısımdaki köşeler [ 0 , 1 $0$$1$$1$$[1,0,1]$ kısıtlaması varken, diğer kısımdaki köşeler [ 1 , 0 , 1 ] kısıtlamasına sahiptir. Bunun bir Holant problemi olarak ifadesi Holant'tır ( [ 0 , 1 , 1 , 1 ] | [ 1 , 0 , 1 ] ) . Ardından " [ 0 , 1 , 1 , 1 ] " satırını ve " [ 1 , 0 " sütununukendiniz kontrol edebilirsiniz.$[0,1,1,1]$$[1,0,1]$$\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$$[0,1,1,1]$ "yukarıda belirtilen teoremin yakınındaki tablonun" H "içerdiği anlamına gelir, bu da girdi grafiğinin düzlemsel olması gereken problemin # P-zor olduğu anlamına gelir.$[1,0,1]$

Yan not: Pinyan Lu'nun hem bu makalenin hem de alıntı yaptığınız ilk kağıdın yazarı olduğunu unutmayın. Yazıları "girişi 3 normal grafikle sınırlasak bile" kenar kapaklarını saymak # P-complete sorunu "derken, dolaylı olarak alıntı yaptıklarını tahmin ediyorum (1). Muhtemelen FPTAS'larının bu kısıtlamaya ihtiyaç duymadığından, sertliğin düzlemsel grafiklerle daha da kısıtlandığında da geçerli olduğunu belirtmediler.

Daha sonra (2,3) --- aynı eserin konferans ve dergi versiyonlarındakiler gibi Holant ikilemi teoremleri daha fazlasını kanıtladı. Teorem 1 (her iki versiyonda), EdgeCover'in k ≥ 3 için düzlemsel düzenli grafiklere göre # P-sert olduğunu söylüyor . Bunu görmek için holografik bir dönüşüm uygulamalıyız. Yukarıda tarif edildiği gibi, bir Holant sorun EdgeCover için ekspresyon üzerinde k olan -Normal grafikler Holant ( [ 0 , 1 , ... , 1 ] ) burada, [ 0 , 1 , ... , 1 ] içeren $k$$k \ge 3$$k$$\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$$[0,1,\dotsc,1]$$k$1 sayısı. Dahası, bu eşdeğerdir ( [ 1 , 0 , 1 ] | [ 0 , 1 , … , 1 ] ) . Şimdi T = [ 1 e π i / k 1 0 ] ile bir Holografik dönüşüm $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$$T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$(veya bakış açınıza bağlı olarak tersi). Valiant'ın Holant Teoremi (4,5) ile bu, sorunun karmaşıklığını değiştirmez (aslında her iki problem de aynı problemdir çünkü her girdinin çıktısı üzerinde anlaşırlar ... sadece sorunun ifadesi değişmiştir. ). Bu sorun için alternatif ifade

burada = k eşitlik fonksiyonudur

$$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$$ $=_k$ girişleri. Teorem 1'i uygulamak için, orijinal işlevi e'ye bölerek [ 2 , e π i / k , e 2 π i / k ] değerini [ 2 e - π i / k , 1 , e π i / k ] olarak normalleştirmeliyiz. π i / k , bu değer sıfırdan farklı olduğu için sorunun karmaşıklığını değiştirmez. Sonra X ve Y değerleri$k$$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$$e^{\pi i / k}$$X$$Y$teorem ifadesinde ve Y = - 2 k - 1'dir . İçin k ≥ 3 , tek bir kontrol edebilir, bu sorun, bu yüzden bu şekilde EdgeCover de, # P-sert üzerinde olduğu düzlemsel k için -Normal grafikler k ≥ 3 .$X = 2$$Y = -2^k - 1$$k \ge 3$$k$$k \ge 3$

Yan not: Michael Kowalczyk'in tezinde bu teoremi ve kanıtı da görebilirsiniz .

EdgeCover'ın daha önce # P-sert olduğunu göstermek için literatür araştırmamı sürdüreceğim (1).

(1) Jin-Yi Cai, Pinyan Lu ve Mingji Xia ( dergi , ön baskı ) tarafından Holografik Azaltma, İnterpolasyon ve Sertlik .

(2) Jin-Yi Cai ve Michael Kowalczyk tarafından { 0 , 1 } -Vertex Atamaları ve Gerçek Kenar İşlevleri ile k -Düzensel Grafikler İçin Bir Dichotomy$k$$\{0,1\}$ .

(3) Jin-Yi Cai ve Michael Kowalczyk tarafından { 0 , 1 } -Vertex Atamaları ve Gerçek Kenar İşlevleri ile k -Düzenli Grafikler üzerinde bölümleme fonksiyonları$k$$\{0,1\}$ .

(4) Holografik Algoritmalar , Leslie G. Valiant

(5) Jin-Yi Cai ve Vinay Choudhary tarafından Valiant'ın Holant Teoremi ve kibrit tensörleri

Biraz daha literatür taramasından sonra , bir grafikte kenar kapaklarını saymanın karmaşıklığının bordewich2008yolunda, Ek A.1'de # P-tam olduğu gösterilmiştir . (Bu, rasgele grafikleri girdi olarak kabul eder, yani minimum derecenin keyfi olarak büyütülebileceğini gözlemlemeleri dışında, girdi grafiğinde herhangi bir varsayımı uygulayamazlar). (bordewich2008path ayrıca sonucun bubley1997graph'ta kanıt olmadan talep edildiğini gösterir.) Bu sonuç, Tyson Williams'ın cevabında (1) olarak atıfta bulunulan Cai, Lu ve Xia'dan önce gelir ve holografik teoriye dayanmaz.

Spesifik olarak, sonuç, greenhill2000complexity'de gösterilen 3 düzenli grafikte bağımsız setleri saymanın # P-sertliğine dayanır (vadhan1997 karmaşıklığında gösterilen en fazla 4 derecelik grafikler için benzer sonucu iyileştirir) ve bubley1997graph tekniğini kullanarak sonucu kanıtlar .

Daha güçlü bir sonuç, yani, en fazla dört derecelik iki taraflı bir grafikte kenar kapaklarını saymanın sertliği (ayrıca kenar setinin dört eşleşmeye ayrılabileceğini ileri sürmek), yine honagrafik araçlar olmadan khanna2011queries, Ek B.1'de bağımsız olarak incelenmiştir. . 3-düzenli bipartit grafiklerde (xia2006regular'da vadhan1997 karmaşıklığının enterpolasyon yönteminin iyileştirilmesi ile gösterilen) bağımsız kümeleri saymanın sertliğine güvenirler ve daha sonra bordewich2008path tekniğinin geliştirilmesini uygularlar.

Daha da güçlü bir sonuç (bipartit 2-3 normal grafikte sayma kenarı kaplamalarının sertliği, yani bir taraftaki tüm köşelerin derece 2'ye ve diğer taraftaki tüm köşelerin derece 3'e sahip olduğu bipartit bir grafik olabilir) xia2006regular ve cai2008holographic sonuçları kullanılarak gösterilebilir. Bunun açıklamaları, PODS'17 makalemizin en son sürümünün D Eki olarak görünür . Bu durumda, sonucun basit grafikler, yani ne kendinden-döngüleri ne de çok-kenarları olmayan grafikler için olduğunu dikkatlice kontrol ettik (Tyson Williams'ın cevabının yorumlarına bakınız).

Düzlemsel 3-düzenli grafiklerde sertlik için Tyson Williams'ın cevabında bir argüman verilir, ancak grafiklerde çok kenarlı ve kendinden döngülere izin verdiği görülüyor.

Referanslar:

• bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinski, Duruş Sürelerini Kullanarak Yol Bağlama ve Hipergraflarda Bağımsız Kümeleri ve Renkleri Sayma , 2008.
• bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, Lavabosuz grafik yönelimleri ve #SAT , 1997'nin zor bir davası için bir yaklaşım . :-(
• holografik: J. Cai, P. Lu, M. Xia, Holografik indirgeme, enterpolasyon ve sertlik , 2008
• greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, Seyrek grafik ve hipergraflarda renklendirme ve bağımsız kümeleri saymanın karmaşıklığı , 2000
• khanna2011queries: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, Olasılıksal Veritabanlarında Fark Olan Sorgular , 2011.
• vadhan1997 karmaşıklık: Salil P. Vadhan, Seyrek, Düzenli ve Düzlemsel Grafiklerde Saymanın Karmaşıklığı , 1997. Bazı sonuçlar muhtemelen bir tezde ortaya çıktı, ancak kontrol etmedim.
• xia2006regular: Mingji Xia, Wenbo Zhao, # 3-Düzenli Bipartit Düzlemsel Köşe Kapağı # P-Complete , 2006'dır. Çevrimiçi olarak açık erişim sürümü bulunmamaktadır. :-( İlk yazarın Tyson Williams'ın cevabında (1) 'in de yazarı olduğunu unutmayın.

Diclaimer: Bu makalelere sadece yüzeysel olarak baktım ve bu alanda uzman değilim, bu yüzden yukarıdaki özetimde hatalar olabilir.

Anonim bir PODS'17 hakemi beni khanna2011queries'e yönlendirdiği için teşekkürler, bu da bu cevabı yazmamı istedi.