Sonlandırılması mümkün olmayan Turing makineleri?

Saf bir sorum var: Sonlandırması doğru ancak doğal, tutarlı ve son derece aksiyomatize edilebilir bir teori tarafından kanıtlanamayan bir Turing makinesi var mı? Belirli bir örnek olmaktan ziyade sadece bir varoluş kanıtı istiyorum.

Bunun sıralı analizle bir bağlantısı olabilir . Gerçekten de, bir Turing makinesi için$M$, tanımlayabiliriz $O(M)$sonlandırılmasını kanıtlayan tutarlı bir teorinin en az ordinali (ya da bu ordinallerin asgari değeri). Bu yüzden var olup olmadığını sormak eşdeğer olurdu$M$ öyle ki $O(M) \geq \omega_1^{CK}$?

Turing makinesinin (sabit girişte) sonlandırılması $\Sigma^0_1$ cümle ve tüm olağan birinci dereceden aritmetik teorileri $\Sigma^0_1$ cümleler, yani hepsi doğru $\Sigma^0_1$ ifadeleri bu teorilerde kanıtlanabilir.

Durdurma yerine bütünlüğe bakarsanız , yani bir TM tüm girişlerde durursa, bu bir$\Pi^0_2$-komple cümle ve yeterince güçlü olan tüm aksiyomatize edilebilir tutarlı teoriler için (örneğin, Robinson'un $Q$ teorisi) bütünlüğü bu teoride kanıtlanamayan bir TM vardır.

Ben bir mantık uzmanı değilim, ama cevabın hayır olduğuna inanıyorum . Turing makinesi durursa ve sistem yeterince güçlü ise, Turing makinesinin girişindeki tüm hesaplama geçmişini yazabilmeniz gerekir. Hesaplamanın sonucunun sonlanan bir geçiş sırası olduğunu doğruladığında, makinenin durduğunu görebilirsiniz. Turing makinelerini teorinizde nasıl şekillendirdiğinizden bağımsız olarak, herhangi bir makul teoride durduran bir makinenin aslında durduğunu gösterebilmelisiniz. Benzetme yoluyla, sonlu bir toplamın eşit olduğu şeye eşit olduğunu kanıtlamaya çalışın; örneğin, 5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42 veya 5 + 5 + 5 = 15 olduğunu kanıtlayın. Bu, adım sayısı sonlu olduğu sürece her zaman mümkün olduğu gibi, sonlu bir hesaplamanın sonucunu da kanıtlar.

Ek açık bir nokta olarak - teoriniz tutarsız olsa bile, makinenin durduğunu hala gösterebilirsiniz, aslında olmasa bile, tutarsız bir teoride herhangi bir wff'yi kanıtlayabileceğinizi, aslında doğrudur.