Doğal teoremler sadece “yüksek olasılıkla” kanıtlanmıştır?

Rastgele bir “kanıtın” deterministik bir kanıttan çok daha kolay olduğu pek çok durum vardır; kanonik örnek polinom kimlik testi.

Soru : Rastgele bir kanıtın bilindiği ancak deterministik bir kanıtın bulunmadığı herhangi bir doğal matematiksel "teorem" var mı?

Bir ifadenin bir "randomize kanıtı" ile Öyle demek $P$

girişini alan rastgele bir algoritma vardır ve yanlışsa en az olasılıklı bir belirleyici kanıtı üretir . $n > 0$ $P$ $\neg P$ $1-2^{-n}$
Birisi için algoritmayı çalıştırdı ve teoremi çürütmedi. $n = 100$

Uygun olmayan doğal olmayan ifadeler oluşturmak kolaydır: sadece etkili bir randomize algoritmanın bilindiği herhangi bir sorunun büyük bir örneğini seçin. Bununla birlikte, Riemann hipotezi gibi "çok sayıda sayısal kanıt" içeren bir çok matematiksel teorem olmasına rağmen, yukarıdaki formun kesin rasgele kanıtları olan birini bilmiyorum.

— Geoffrey Irving
kaynak

@Kaveh: Kategori düzeltmeleri için teşekkürler. Ne koyacağından emin değildim.

— Geoffrey Irving

başka bir yön, "derandomization" literatürünü inceliyor (iyi bir anket de arıyor). nispeten yeni (ödüllü) Reingold teoremi de bunun bir örneği değil miydi (yine kanıttan önce)?

— Mart'ta vzn

ERH (asal eskiden olduğu gibi) üzerinde belirleyici bir kanıtla ilgili herhangi bir sorun bu özelliğe sahip olurdu

— Suresh Venkat

Söylediğim için üzgünüm ama sorunuzun mantıklı olduğunu düşünmüyorum, çünkü doğal ya da böyle bir ifade olamaz. N'nin eskiden iyi bir örnek olduğu gibi bir ana olduğunu yazıyorsunuz, ancak (elbette) her zaman ilkel olmak için belirleyici bir kanıt var, sadece biraz daha uzun. Ayrıca bir düzeltme ifadesini çürütmesi gereken bir algoritmanın başarı olasılığını nasıl tanımlayacağınızı da hayal edemiyorum. Belki bir problem sınıfı için etkili bir kanıt istemek istersiniz (yani, girdi P ve n ve P (n) ifadesi olacaktır) ama sonra karmaşıklık teorisine ve BPP'nin tanımına varıyoruz.

— domotorp

domotorp: (Algoritmanın sınırlı sayıda rasgele bit kullandığını varsayarak) bu tür herhangi bir randomize kanıtın bazı performans maliyetleriyle derandom edilebilir. Bununla birlikte, performans maliyetinin, deterministik kanıtın bugüne kadar çalıştırılmadığı ve rastgele kanıtın yeterince yüksek olduğu örnekleri soruyorum. Tanımların bu bağlamda anlamlı olduğuna inanıyorum.

— Geoffrey Irving

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ $d$ $d+1$

Tek değişkenli durumun bir örneği için Zeilberger'in bu makalesine bir Knuth sorusunu çözerek bakın . Permütasyon istatistikleri hakkında bir açıklama yapar. Bir permütasyon için , let sayı çözümlerinden bir ve majör endeks izin arasında $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ kümesindeki tüm tamsayıların toplamı olmalıdır. Zeilberger, , iki istatistiğin kovaryansının $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ $n$

E [(inv (π) - E [inv (π)]) \cdot (maj (π) - E [maj (π)])] = \frac{1}{4} (\binom{n}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— Sasho Nikolov
kaynak

Teşekkürler, bu çok hoş bir makale. Ahlakı çok seviyorum.

— Geoffrey Irving