Yüklem UGC sertlik için ?

Arkaplan :

Subhash Khot'ın orijinal UGC belgesinde ( PDF ), üçlü bir alfabe üzerinde tüm form eşit olmayan (a, b, c) kısıtlamaları olan belirli bir CSP örneğinin tatmin edici bir ödevi kabul edip etmediğine karar vermenin UG-sertliğini kanıtlıyor 1 - kısıtlamaların veya keyfi olarak küçük için kısıtlamaların satiring hiçbir atama olup olmadığı .$\epsilon$ϵ>$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

Bu sonuç, herhangi bir kombinasyonu için genelleştirilmiş olup olmadığını merak ediyorum için -ary kısıtlamaları ve boyut değişken alanları nerede . Yani,ℓ ≥ 3 k ≥ 3 ℓ ≠ k ≠ $\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Soru :

Yüklemi için yaklaşım sonuçlarının bilinen herhangi bir sertlik var için için ve ? x i ∈ G F ( k ) ℓ , k ≥ 3 ℓ ≠ k ≠ $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Özellikle değerlerin birleşimi ile ilgileniyorum ; örneğin, için eşit Değil ( ) .x 1 , … , x k x 1 … , x k ∈ G F ( k $\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

Yukarıda iddia ettiğim şeyin aslında bilindiğini fark ettim.

İçin ve keyfi k ≥ 3 , bu (kağıt aslında genel bahsediyor "3-renklendirilebilir 3-üniforma hypergraphs boyama Sertliği" khot en Focs 2002 kağıdın içinde de k başlık sadece 3-yalandan durumda bahsediyor olsa da,) .$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

İçin ve k ≥ 2 , aslında daha güçlü bir sertlik bilinmektedir. Aslında, tüm NAE kısıtlamalarını karşılayan değişkenlere sadece iki değer ataması olsa bile (başka bir deyişle ℓ- üniform hipermetrom, herhangi bir tek renkli hipergege olmadan 2 renk kullanılarak renklendirilebilir), hala bir NP bulmak zordur. en az 1 - 1 / k ℓ - 1 + ϵ NAE kısıtlamalarını karşılayan bir etki alanı boyutu k'den atama (rasgele sabit ϵ > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$). Bu, hipergraf 2-renklendirme için bilinen uyumsuzluk sonucunun sağlamlık durumunda güçlü bir yoğunluk ifadesi vermesinden kolayca gelir. Resmi ifade, SODA 2011 makalemde Ali Sinop "Düşük kromatik sayının sınırlı derece (hiper) grafiklerinde bağımsız kümeler bulmanın karmaşıklığı" (SODA son sürümünde Lemma 2.3 ve ECCC'de daha eski sürümde Lemma 2.8 ile karmaşıklık bulmanın karmaşıklığı) http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ ).

NAE-3SAT ile ilgili bir aramadan bu sayfaya geldim.

Sorduğunuz sorun için, örneğin tatmin edilebilir olup olmadığını veya en fazla 1 - 1 / k ℓ - 1 + ϵ kısıtlama kısmının karşılanıp karşılanamayacağını söylemek zor olmalıdır . Yani, tatmin edici durumlar için sıkı bir sertlik sonucu (sadece rastgele bir ödev seçmenin başarabileceği ile eşleşir ) ve UGC'ye gerek yoktur .$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

İçin ve ℓ ≥ 4 , bu (o k-grubu bölme indirgenebilir 4-grubu-yarma için Hastad en faktörü 7/8 + epsilon inapproximability sonucundan aşağıdaki k > 4 ). Negatifler iyi ise, Max ( ℓ - 1 ) -SAT için sıkı sertlik sonucunu da kullanabilirsiniz .$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

İçin , Khot "3-renklendirilebilir 3-üniforma hypergraphs boyama Sertliği." Bir Focs 2002 gazetede bunu kanıtladı (Yani, orijinal UGC varsayımını kaldırdı.)$k=\ell=3$

İçin ve keyfi k ≥ 3 , Engebretsen ve ben "?.: 150-178 (2004) her zaman kolay iki değişken üzerinde kısıt memnuniyeti Rastgele Struct Algoritmalar 25 (2) mi" de böyle bir sonuç çıktı. Ancak, sonucumuzun "katlanması" gerektiğini düşünüyorum, yani, bazı sabitler a , b için kısıtlamalar aslında NAE ( x i + a , x j + b , x k ) şeklinde olacaktır . (Bu, Boole değişkenlerinin olumsuzlanmasına izin verme analogudur.)$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

Genel durum için, bunun herhangi bir yere yazılıp yazılmadığını bilmiyorum. Ama gerçekten ihtiyacınız varsa, muhtemelen bir şey bulabilirim veya iddiayı kontrol edebilirim.

STOC'08 Best Paper'da Prasad Raghavendra , Unique Games Conjecture'ı varsayarak, basit bir semidefinite programlama algoritmasının, sabit değişken değişkenleri ve sabit alfabe ile kısıtlı sayıdaki herhangi bir kısıtlama memnuniyeti problemi (NAE dahil) için en iyi yaklaşımı verdiğini kanıtladı. NAE için sertlik faktörünün gerçekte ne olduğunu bilmek için, basit algoritmanın bunun için ne kadar iyi olduğunu anlamanız gerekir, yani program için bir bütünlük boşluğu olduğunu kanıtlamanız gerekir. Birinin bunu NAE için tam genelliği içinde yapıp yapmadığını bilmiyorum.