Doğrusal programlama için kuvvetli bir polinom algoritmasının varlığının sonuçları?

Algoritma tasarımının kutsal grailslerinden biri, doğrusal programlama için kuvvetli bir polinom algoritması bulmaktır ; yani, çalışma zamanı değişken ve kısıtlama sayısındaki bir polinom tarafından sınırlandırılan ve parametrelerin gösterilmesinin boyutundan bağımsız olan bir algoritma (varsayarak) birim maliyet aritmetiği). Bu soruyu çözmenin doğrusal programlama için daha iyi algoritmalar dışında etkileri olabilir mi? Örneğin, böyle bir algoritmanın varlığı / olmaması, geometri veya karmaşıklık teorisi için herhangi bir sonuç doğurabilir mi?

Düzenleme: Belki de sonuçları ile ne demek istediğimi açıklığa kavuşturmalıyım. Şimdi matematiksel sonuçlara veya koşullu sonuçlara, şu anda doğru olduğu bilinen sonuçlara bakıyorum . Örneğin: "BSS modelinde LP için bir polinom algoritması, cebirsel karmaşıklık sınıflarını FOO ve BAR sınıflarından ayırır / daraltır" veya "polinomlar hakkında bu kadar güçlü bir polinom algoritması yoksa" veya " ilginç sonucu olurdu LP olarak formüle edilebilir sorun X için güçlü polinom algoritma blah ". Hirsch varsayımı, sadece tek yönlü polinom olması durumunda geçerli olması dışında iyi bir örnek olacaktır.

— Ian
kaynak

Ayrıca, bu sonucu göstermek için kullanılan ispat tekniğinin uzun vadeli etki açısından sonuçtan daha ilginç olabileceğini söylemeye gerek bile yoktur.

— Suresh Venkat

Yanıtlar:

Bu, parite ve ortalama kazançlı oyunların P’de olduğunu gösterir. Bkz. Sven Schewe. Parite ve Ödemeli Oyunlardan Doğrusal Programlamaya. MFCS 2009.

— Rahul Savani
kaynak

mükemmel. Keşke bunu birden fazla + 1 yapabilseydim. bu çok havalı bir sonuçtur.

— Suresh Venkat

Birisi LP için güçlü bir polinom algoritmasının bunu nasıl ima edeceğini detaylandırabilir mi? Schewe, katlanarak büyük rakamlarla, polinom büyüklüğünde bir LP örneği oluşturuyor. İnce. Şimdi bunun üzerine kuvvetle polinom zaman algoritması kullanıyoruz. Fakat bu algoritmanın yaptığı aritmetik işlemleri simüle etmemize gerek yok mu? Bu simülasyon süper polinom zaman kaybetmeden nasıl yapılır? (sayıları iki katına çıkarıp hatırlamak; sanırım bir Çin geri kalanı hilesi yapabilirdi, ancak sayıları bu şekilde polinom zamanında karşılaştırabilir miyiz?).

— slimton

Makaleyi henüz dikkatlice okumamıştım, fakat anladığım kadarıyla sadece sorunun Real RAM / BSS modelinde P olduğunu kanıtlıyorlar ( en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2) % 80% 93Smale_machine ), P'nin normal sürümü değil, R halkasının üzerindeki hesaplama modellerini tanımlayabilirsiniz (bkz. Ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf ).

den normal Turing Machines alıyoruz ve

gerçekleri üzerinden BSS modelini alıyoruz. Her halkanın, P standartına eşit olmayabilecek kendi P sürümü vardır

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

— Ian

Önceki yorumuma açıklık: LP için güçlü bir polinom algoritması varsa, o zaman BSS modelinde polinom vardır, bu durumda kağıt BSS modelinde parite ve ödeme oyunlarının da P olduğunu gösterir.

— Ian

@Ian: Başka bir deyişle: bu cevap biraz yanıltıcıydı (ancak bu geçerli bir cevap olarak kabul etmenizi engellemedi).

— slimton

Cevabına bağlı. Algoritma çalışma süresi olan oluşturdu ise $(d n)^{Ackerman(10000)}$ örneğin, elipsoid algoritması, teorik öneminin yanı sıra, bazı durumlarda simpleks algoritmasından daha hızlı olan iç nokta yönteminin geliştirilmesine öncülük eder (?). Bu, uygulamada kayda değer hızlanmaya yol açmaktadır, çünkü her iki yaklaşım da yapılabileceklerin maksimum sınırı için sıkıştırılmıştır.

— Sariel Har-Peled
kaynak

Ancak bu koşullar hemen hemen her teorik sonucu ortaya çıkarır: çalışma zamanına bağlı olarak faydalı olabilir veya olmayabilir ve sonuçtaki teknikler / fikirler gelecekteki ilerlemelere neden olabilir.

— Ian

Pek sayılmaz. Hirsch varsayımının bir şekli doğruysa ve ispat yapıcı ise, o zaman kesinlikle LP için daha hızlı çözücülere yol açacaktır. Kısacası, eğer soru belirli ise, sonuçları açık ve net ise ve eğer soru genişse, hiçbir şeye yol açmayabilir. Ya da farklı bir ifadeyle, LP için polinom zaman algoritmasının tek kesin sonucu, sorunu şu anda olduğundan daha iyi anlayacağımızdır.

— Sariel Har-Peled,

İşte geometri için bir sonuç: Simpleks algoritmasının herhangi bir değişkeni (randomize veya deterministik) için kuvvetli bir polinom bağı, herhangi bir polytope grafiğinin çapına bağlı bir polinom anlamına gelir. Bu, Hirsch düşüncesinin "polinom versiyonunun" doğru olduğu anlamına gelir .

— Shiva Kintali
kaynak

ancak LP'ler için kuvvetli bir polinom zaman algoritmasının simpleks metodu kullanması gerektiğine inanmak için hiçbir sebep yoktur. Şimdiye kadar bilinen en iyi yöntemler (müsrif) rastgele bir örnekleme + özyineleme stratejisi kullanır.

— Suresh Venkat

Hata. Ben noktayı özledim.

— Shiva Kintali 13:10 2:

Bu sadece simpleks kuvvetle polinom ise geçerlidir. Daha genel olarak tutan sonuçları arıyorum. Polinom Hirsch varsayımının yanlış olduğu, ancak başka bir algoritmanın kuvvetli bir şekilde polinom olabileceği veya polinom Hirsch varsayımının doğru olduğu, ancak tek yönlü polinom zamanında kısa bir yol bulamadığı için simpleks üstel olduğu olabilir.

— Ian

@Suresh: Aslında, ben çok emin söz altüssel rastgele örnekleme + tekrarlama stratejisi olduğum (? Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl / Kalai, sağ) olan bir çift simpleks algoritması. (Ama bu senin

— fikrinle çelişmiyor

bekle. Michael Goldwasser uzun zaman önce bir SIGACT makalesinde işe yaramadı mı? Hmm. şimdi gidip kazmam gerekiyor.

— Suresh Venkat