Geçişli bir tamamlanma / yol varlığı kehanetini hesaplama

Burada, böyle bir şeyin mümkün olup olmadığını düşündüren geçişli tamamlama hakkında birkaç soru ( 1 , 2 , 3 ) vardı:

Girdi yönelimli bir grafiği aldığımızı ve ? ' " türündeki sorguları yanıtlamak istediğimizi varsayalım , yani grafiğinin geçişli tamamlanmasında iki köşe arasında bir kenar olup olmadığını sormak ister misiniz? (eşdeğer olarak, "bir yol yoktur için içinde ?").$G$$(u,v)\in G^+$$G$$u$$v$$G$

verildikten sonra zamanında ön işleme çalışmanıza izin verildiğini ve zamanında sorguları yanıtlamanız gerektiğini varsayalım .$G$$f(n,m)$$g(n,m)$

Açıkçası, (yani ön işleme izin verilmiyorsa) yapabileceğiniz en iyi şey, zamanında bir sorguyu cevaplamaktır . (dan DFS çalıştırmak için ve bir yol vardır true döndürür).$f=0$$g(n)=\Omega(n+m)$$u$$v$

Bir başka önemsiz sonuç, , geçişli kapanışı hesaplayabilir ve ardından deki sorguları yanıtlayabilirsiniz .$f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$$O(1)$

Ortadaki bir şey ne olacak? İzin veriliyorsa, önişleme süresi deyin , sorguları den daha hızlı cevaplayabilir misiniz ? Belki ?$f=n^2$$O(m+n)$$O(n)$

Başka bir varyasyon: ön işleme süreniz olduğunu varsayalım , ancak yalnızca alanı varsa, den daha verimli sorguları yanıtlamak için önişlemeyi kullanabilir misiniz ?$poly(n,m)$$o(n^2)$$O(n+m)$

Genel olarak dengesizliği hakkında bu tür soruları yanıtlamaya izin veren bir şey söyleyebilir miyiz ?$f,g$

Konumlar arasındaki tüm çift mesafelerin eksiksiz bir yönlendirme tablosunu tutmanın mümkün olmadığı GPS sistemlerinde biraz benzer bir takas yapısı göz önünde bulundurulur, bu nedenle kısmi bir tablo saklayan ancak tüm mesafeyi hesaplamak için önemli sorgu hızlandırmasına izin veren mesafe oracles fikrini kullanır. grafiği (genellikle sadece noktalar arasındaki yaklaşık mesafeyi verir).

Düzlemsel grafikler için kompakt ulaşılabilirlik sınırları mevcuttur,

Mikkel Thorup: Ulaşılabilirlik ve düzlemsel digraflarda yaklaşık mesafeler için kompakt orakles . ACM 51 (6): 993-1024 (2004)

ancak genel grafikler için "zor" (seyrek grafikler bile)

Mihai Patrascu: Hücre-Prob Alt Sınırlarının Peyzajını Birleştirmek . SIAM J. Comput. 40 (3): 827-847 (2011)

Bununla birlikte, en uygun seviyeye ulaşılabilir etiketlemeyi hesaplayabilen bir algoritma vardır

Edith Cohen, Eran Halperin, Haim Kaplan, Uri Zwick: 2-Hop Etiketleri ile Erişilebilirlik ve Mesafe Sorguları . SIAM J. Comput. 32 (5): 1338-1355 (2003)

Maxim A. Babenko, Andrew V. Goldberg, Anupam Gupta, Viswanath Nagarajan: Hub Etiket Optimizasyonu için Algoritmalar . ICALP 2013: 69-80

Cohen ve ark. ve diğerleri, biraz uygulamalı araştırma var (veritabanı topluluğu) bkz.

Ruoming Jin, Guan Wang: Basit, Hızlı ve Ölçeklenebilir Erişilebilirlik Oracle . PVLDB 6 (14): 1978-1989 (2013)

Yosuke Yano, Takuya Akiba, Yoichi Iwata, Yuichi Yoshida: Yerler ve yollar ile budanmış etiketleme ile grafikler üzerinde hızlı ve ölçeklenebilir erişilebilirlik sorguları . CIKM 2013: 1601-1606

Sorunuza kısmen cevap vereceğim: Böyle bir yapının elde edilmesinin zor olmasının bazı nedenleri var gibi görünüyor.

Herhangi bir n-düğümü m-kenarı yönlendirilmiş grafiği verildiğinde, T (m, n) zamanında önişleme yapabileceğinizi varsayalım ki, sorgulanabilirlik sorguları q (m, n) zamanında cevaplanabilir. Sonra, örneğin, bir n-düğümlü m-edge grafiğinde bir üçgen bulabilirsiniz.$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$saati. bundan dolayı$T(m,n)=O(n^2)$ ve $q(m,n)=O(n)$atılım sonucunu ima eder. Üçgen bulma için sahip olduğumuz en iyi algoritma$O(n^\omega)$ zaman ve belirsiz olup olmadığı belli değil $\omega=2$.

Düşüşü görmek için bazı grafiklerde bir üçgen bulmak istediğimizi varsayalım $G$. 4 set üzerinde 4 katmanlı bir grafik oluşturun$n$ her biri düğüm $X,Y,Z,W$ burada her orijinal düğüm $v$ içinde $G$ kopyaları var $v_X,v_Y,v_Z,v_W$. Şimdi her kenar için$(u,v)$ içinde $G$ yönlendirilmiş kenarları ekle $(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$. Bu grafiği tamamlar. Şimdi ön işleme$T(O(m),O(n))$ zaman ve sormak sormak $v_X,v_W$ her biri için $v$.

Muhtemelen daha fazla çalışma ile, bir grafiği üçgenleri de listelemek için indirgeyi değiştirebilir (şu anda sadece üçgenlerdeki düğümleri listeler). Biri bunu verimli bir şekilde yapabilirse, muhtemelen 3SUM gerektiren bazı koşullu alt sınırlar alabilir$n^{2+o(1)}$ 2010'dan itibaren Patrascu'nun sonucunu kullanarak